§2.2 用分离系数消元法解线性方程组
§2.1用消元法解线性方程组，当未知量个数、方程个数较多时，总带着未知量x1, x2, …, xn是很麻烦的．实际上消元过程只是对未知量的系数进行运算，本节介绍分离系数消元法．
导学提纲
1．何谓“矩阵”？它与行列式在本质和形式上有什么区别？
2．写出习题1.1中各线性方程组的“系数矩阵”和“增广矩阵”.
3．对矩阵可以施行哪三种初等行（列）变换？它与行列式的性质有什么区别？
4．分离系数消元法就是对增广矩阵施行一系列初等行变换，将其化成阶梯形，在有解时，进一步化成约化阶梯形，从而直接写出全部解．
5．为什么对增广矩阵不能施行初等列变换？
6．何谓矩阵的“秩数”？为什么矩阵经过初等行（列）变换，秩数不变？
7．线性方程组在什么条件下有解？当有解时，在什么情况下有唯一解？在什么情况下有无穷多解？怎样写出全部解？
定义2.2.1 由s×n个数aij（i=1,2, …, s; j=1,2, …, n）排成的矩形表
称为s行n列矩阵．aij称为矩阵的（i, j）元．矩阵通常用大写字母A， B, …或Asn, Bsn, …或（aij）sn, （bij）sn, …表示．元素全为“0”的矩阵称为零矩阵，记作0sn．当s=n时，称为n阶矩阵或n阶方阵．
例如，一般线性方程组
称
是方程组（1）的系数矩阵；称
是方程组（1）的增广矩阵．
定义2.2.2 对矩阵施行以下三种变换，称为矩阵的初等变换．
（1）对换矩阵的两行（列），称为换法变换；
（2）用非零数c乘以矩阵的某一行（列），称为倍法变换；
（3）将矩阵某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为消法变换．
增广矩阵可以看成线性方程组的简便记法．用消元法解线性方程组就是对增广矩阵施行一系列初等行变换．以下用分离系数消元法重解例2.1.1、例2.1.2、例2.1.3（即例2.1.1′、例2.1.2′、例2.1.3′）.
例2.1.1′
解 注2
注2：注 
表示对换矩阵的i, j行（列）; 
表示用非零数c乘以矩阵的第i行（列）;
表示将矩阵第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去，以上记号写在“—→”的上（下）面，表示行（列）变换．
最后一个增广矩阵表示与原方程组同解的方程组，得唯一解：
例2.1.2′
解
最后一个增广矩阵第3行表示矛盾方程0x1+0x2+0x3=6，无解，所以方程组无解．
例2.1.3′
解
最后一个增广矩阵表示与原方程组同解的方程组
它有无穷多解，移项
x3是自由未知量，全部解为
其中c为任意数．
为了总结出线性方程组有解判别定理，我们给出
定义2.2.3 在矩阵A=（aij）sn中任取k行、k列，位于行列交叉点的k2个元素构成的行列式，称为A的一个k阶子式，1≤k≤min（s, n）.
定义2.2.4 如果矩阵A=（aij）sn中有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式（如果还有的话）都等于零，则称矩阵A的秩数等于r，记作秩（A）=r．换句话说，矩阵A中不等于零的子式最高阶数就是A的秩数．零矩阵的秩数等于零．
例如，例2.1.1′最后一个系数矩阵
中有一个3阶子式
A中没有4阶子式，就说秩（B）=3，增广矩阵
中有一个3阶子式
中没有4阶子式，就说秩
.
例2.1.2′最后一个系数矩阵
中有一个2阶子式
而B中所有（只有一个）3阶子式
就说秩（B）=2．增广矩阵
中有一个3阶子式
中没有4阶子式，就说秩
.
例2.1.3′最后一个系数矩阵
中有一个2阶子式
而所有（只有一个）3阶子式
就说秩（B）=2，增广矩阵
中有一个2阶子式
而所有（共4个）3阶子式
全等于零，所以秩
.
定理2.2.1 矩阵经过初等变换，秩数不变．
分析证明 如果A是1阶矩阵，定理显然成立．以下设A=（aij）sn, s≥2, n≥2．从求证入手，设矩阵A经过初等变换得到B，并设A中有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式（如果还有的话）全等于零．欲证B中也有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式（如果还有的话）全等于零，那就要看初等变换对A中各阶子式的值有什么影响？回顾行列式性质，对换A中两行（列），含这两行（列）的子式反号；用非零数c乘以A中某一行（列）, A中含这一行（列）的子式值乘以c≠0；将A的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，含这两行（列）的子式值不变．因此，A中有一个r阶子式不等于零，B中也有一个r阶子式不等于零；A中所有r+1阶子式（如果还有的话）全等于零，那么B中所有r+1阶子式（如果还有的话）也全等于零．
由定理2.2.1知道，例2.1.1′，例2.1.2′，例2.1.3′，最后系数矩阵B的秩数就是原方程组系数矩阵A的秩数；最后增广矩阵
的秩数就是原方程组增广矩阵
的秩数．
定理2.2.2 n元线性方程组（1）的系数矩阵记作A，增广矩阵记作
.
（1）当秩（A）≠秩
时，方程组（1）无解；
（2）当秩（A）=秩（A-）=r时，方程组（1）有解：
① 当r=n时，有唯一解；
② 当r＜n时，有无穷多解，解中有n-r个自由未知量．
例2.1.1′系数矩阵秩数3=增广矩阵秩数3=未知量个数3，有唯一解．
例2.1.2′系数矩阵秩数2≠增广矩阵秩数3，无解．
例2.1.3′系数矩阵秩数2=增广矩阵秩数2＜未知量个数3，有无穷多解，解中有3-2=1个自由未知量．
用分离系数消元法解线性方程组的步骤是：对增广矩阵施行初等行变换，将其化成阶梯形（由此计算系数矩阵秩和增广矩阵秩）．在有解的情况下，将阶梯形进一步化成约化阶梯形，由此写出全部解，如果在化阶梯形过程中出现矛盾方程，立即可知方程组无解，如果增广矩阵出现一行全为“0”，这表示多余方程，可以去掉．
例2.2.1 解线性方程组
解 注3
注3：注 
中数称为该行首非零元．
观察阶梯形知系数矩阵秩数4=增广矩阵秩数4=未知量个数4，方程组有解，且有唯一解．下面将阶梯形化成约化阶梯形．
唯一解（1,2,1, -1），读者可将解代入原方程组验算之．
例2.2.2 解线性方程组
解
此时，系数矩阵阶梯形以下全为“0”，消元法结束，最后一个系数矩阵中，有一个2阶子式
而所有（共4个）3阶子式全等于零（因为第3行全为“0”），所以系数矩阵秩数为2；增广矩阵中有一个3阶子式
没有4阶子式，所以增广矩阵秩数为3.2≠3，所以方程组无解，或从最后一个增广矩阵发现矛盾方程0x1+0x2+0x3+0x4=6，直接判定无解．
例2.2.3 解线性方程组
解
此时系数矩阵阶梯形以下全为“0”，消元法结束，最后一个系数矩阵中，有一个3阶子式
而所有4阶子式全等于零（因为第4行全为“0”），所以系数矩阵秩数等于3．同理，增广矩阵秩数也等于3，方程组有解，因为秩数3小于未知量个数5，所以方程组有无穷多解，解中有5-3=2个自由未知量，下面将阶梯形化成约化阶梯形.
从最后一个增广矩阵可以看出x2, x5是自由未知量，移项，得
令x2=c1, x5=c2，全部解为
其中c1, c2为任意数．
习题2.2
1．用分离系数消元法解线性方程组：
2．讨论a, b为何值时，线性方程组
有唯一解？无穷多解？无解？在有解时，求出全部解．
3．方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解吗？方程个数少于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解吗？方程个数多于未知量个数的线性方程组一定无解吗？试举二元一次方程组为例说明之．