本章复习提纲

1．一般线性方程组

其中x1, x2, …, xn是未知量；aij（i=1,2, …, s; j=1,2, …, n）是第i个方程xj的系数；bi（i=1,2, …, s）是第i个方程的常数项．

如果将x1=c1, x2=c2, …, xn=cn代入方程组（1），使（1）的每个方程都变成恒等式，则称n元有序数组（c1, c2, …, cn）是（1）的一个解．

2．设线性方程组

如果（1）的解都是（2）的解，（2）的解也都是（1）的解，则称（1）与（2）同解．

3．由s×n个数ai j（i=1,2, …, s; j=1,2, …, n）排成的矩形表

称为矩阵，简记作A=（aij）sn．如果s=n，称A是n阶矩阵或n阶方阵．

4．对矩阵A=（ai j）s n施行以下三种变换，称为矩阵的初等变换．

（1）对换A的两行（列），称为换法变换；

（2）用非零数c乘以A的某一行（列），称为倍法变换；

（3）将A某一行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为消法变换．

5．称

是线性方程组（1）的系数矩阵；称

是（1）的增广矩阵．

对增广矩阵施行初等行变换，就是对线性方程组施行同解变换．

6．若矩阵A=（ai j）s n中有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式（如果还有的话）全等于零，则称矩阵A的秩数为r．记作秩（A）=r．换句话说：A中不等于零的子式最高阶数就是A的秩数．

矩阵经过初等变换，秩数不变．

7.n元线性方程组（1）有解判别法：

（1）系数矩阵秩数 ≠增广矩阵秩数，则无解；

（2）系数矩阵秩数 =增广矩阵秩数 =r，则有解：

① 秩数r=未知量个数n时，有唯一解；

② 秩数r＜未知量个数n时，有无穷多解，解中有n-r个自由未知量．

8．常数项全为零的线性方程组

称为齐次线性方程组．

（1）齐次线性方程组（3）恒有解：x1=0, x2=0, …, xn=0，称为零解或平凡解．

（2）当齐次线性方程组（3）系数矩阵秩数r小于（等于）未知量个数n时，有非零解（只有零解）.

（3）方程个数s小于未知量个数n的齐次线性方程组（3）必有非零解．

（4）方程个数s等于未知量个数n的齐次线性方程组（3）有非零解（只有零解）的充分必要条件是其系数行列式等于零（不等于零）.

9．分离系数消元法．

（1）解非齐次线性方程组，先对增广矩阵施行初等行变换，将其化成阶梯形，当有解时，再进一步化成约化阶梯形，由此写出全部解．

（2）解齐次线性方程组，先对系数矩阵施行初等行变换，将其化成阶梯形，当有非零解时，再进一步化成约化阶梯形，由此写出全部解．