习题

1.1　一质点在一直线上运动.运动规律分别为：（1）x=Asinωt；（2）x=Ae^-λtsin（ωt+α）.试画出c，e，s轨迹.

1.2　两质点在同一直线上运动，如图1.26所示.画出此系统的C空间，并分析由于不可入性而造成的对c轨迹的限制.

图　1.26

图　1.27

1.3　试建立如图1.27所示的单自由度谐振子的运动方程及状态方程.分析其c，e，s轨迹.

1.4　一质量为m的质点从地面以初速v0垂直上抛，分别考虑所受重力为均匀以及万有引力规律的两种情况.试建立质点运动的s轨迹.

1.5　在研究冰橇动力学时，得到约束方程为

sinφdx-cosφdy+0dφ=0.

试判断此约束是否为完整约束.

1.6　已知Pfaff约束为

yz（y+z）dx+xz²dy+xy（x+y）dz+x²zdζ=0.

（1）试判断此约束的完整性；

（2）试举出另一独立的Pfaff约束，使它和上述约束构成完整组.

1.7　考虑变量q₁，q₂，…，q_n的一阶线性约束

成立，则上述约束是完整的.

1.8　说明下列一阶线性约束中哪些是可积的.对于可积约束，求出其相应的有限方程.

1.9　试证明滚盘问题的约束组为非完整组：

Pf₁=cosφdξ+sinφdη-asinθdθ=0，

Pf₂=-sinφdξ+cosφdη+acosθdφ+adψ=0.

1.10　在圆柱的P点上固定柔索的一端，另一端系有质点m，如图1.28所示.柔索不可伸长.质点在Oxy平面内运动，试表达其所受的约束条件.

图　1.28

图　1.29

1.11　试列出追踪问题中P点的约束方程：目标点A在空间中按预定规律运动，P点运动的速度矢量恒指向A点.

1.12　试列出常速问题的约束方程：质点P在空间中运动时，其速度大小恒为常数.

1.13　质点运动受Pfaff约束

（x-1）dx+（y-2）dy-3dz=0.

试求从原点出发质点运动的可达区域.

1.14　一质点约束在半径为10的固定圆环上运动，如图1.29所示.试讨论当质点位于A，B，C，D各点时，其虚位移分量δ_vx和δ_vy之间的限制关系式，并求以下未知的虚位移分量：

（1）已知A点δ_vx=5，求δ_vy；

（2）已知B点δ_vx=3，求δ_vy；

（3）已知C点δ_vy=2，求δ_vx；

（4）已知D点δ_vy=2，求δ_vx.

1.15　质点m约束在光滑铁丝框上运动.铁丝框的形式是一抛物线，在Oρz平面上的方程是ρ²=2az.铁丝框以匀速ω绕Oz轴转动，如图1.30所示.并假定在t=0时，Oρz平面和Oxz平面重合.

图　1.30

（1）试列出质点Descartes位形［x，y，z］^T所受约束的方程式.此约束能否表达为一阶线性约束的等价形式？

（2）建立质点可能位移的限制方程，并计算当给定φ=0，ρ=2，dx=1，dt=0.1时质点的可能位移矢量.

（3）建立质点的虚位移限制方程，并计算当给定φ=0，ρ=2，δ_vx=1时质点的虚位移矢量.

1.16　试建立追踪问题中约束的虚位移限制方程.

1.17　试求变长度单摆的虚位移限制方程.

1.18　如图1.31所示，半径为R的吊索铰轮以角速度ω（t）旋转.试求重物W摆动运动所受的约束关系式，并建立其可能位移及虚位移的限制方程.

图　1.31

图　1.32

1.19　一质点约束在曲面

x²+y²-（z-1）²=-1

上运动.试求此约束的一阶形式，二阶形式，并比较其ε^L，ε^J，ε^G三者的异同.

1.20　一质点约束在半径为R的圆环上运动，圆环绕其自身某直径以角速度ω（t）旋转，如图1.32所示.试分析质点所受约束的ε^L，ε^v，ε^J，ε^G限制方程.

1.21　滚盘运动所受的约束组为

试分析运动所受约束的ε^L，ε^v，ε^J，ε^G.

1.22　试求常速问题中约束的ε^J，ε^G.

1.23　两椭球在地面上按照图1.33所示的方式滚动.三者表面完全粗糙.试证明其约束力系为理想力系.

图　1.33

1.24　试寻求习题1.15中质点在铁丝框上平衡不动时所受的约束力.

1.25　一质点约束在光滑曲面f（x，y，z）=0上运动.质点所受的给定力为F=［-kx，-ky，-kz］^T.为使曲面上每一点都能成为平衡位置，函数f（x，y，z）应为何种函数？

1.26　如图1.34所示，质量均为m的质点A₀，A₁，A₂，…，A_n用长度相同的轻杆串联.整个系统位于垂直平面内.第一个点A₀固定不动，处于最高位置，而最后一个点A_n则受大小不变的水平力Q的作用.试求在平衡位置上，各杆与垂直线的夹角φ₁，φ₂，…，φ_n.

图　1.34

图　1.35

1.27　质量为m的质点可无摩擦地沿曲线ax²+bxy+cy²+αx+βy+ρ=0滑动，Oy垂直向上，4ac-b²≠0.求质点的平衡位置.

1.28　如图1.35所示，质量分别为m和2m的两个质点由长√2r的无质轻杆相连而构成一个哑铃状系统，它可以在半径为r的碗内无摩擦地滑动.求系统的平衡位置.

1.29　试举出受约束系统惯性运动的三个例子.