2.4　时间序列的运算

人们常常通过建立模型来描述现象、事物随时间推移的变化规律性，而常见的模型一般都是某种运算的结果。

2.4.1　线性运算和延迟运算

1.线性运算

设是两个时间序列，a ，b是两个常数，形如的时间序列可以看作由经过线性运算得到。

注意：不相关平稳序列的线性运算能保持平稳性，其他的线性运算不一定能保持平稳性。

2.延迟运算

假设已知时间序列和有如下关系这一关系式也可以用滞后算子（也称延迟算子）L表示为：

这意味着在各时间点上，时间序列和的对应关系如表2-2所示。

因此，滞后算子L的作用就是将时间序列逐项推后一期。关于滞后算子，有下面的2种关系式成立：

其中，j为正数。称L为一步延迟算子，L2为二步延迟算子，…，　Lj为j 步延迟算子。

当j=0时当j=−i时，

另外，滞后算子具有如下性质：

（1）对常数施加滞后算子仍为常数，即Lc=c，其中，c表示常数。

（2）滞后算子适用分配率，即

（3）滞后算子适用结合率，即

还可以通过线性运算，构造滞后算子多项式来对时间序列进行更加复杂的运算。典型的p阶滞后算子多项式为：，则滞后算子多项式施加于时间序列时有：

特别地，当p→∞，且滞后算子多项式中的系数时，则构成特殊的无限期滞后算子多项式：

若则上式可记为：

此外还有线性延迟混合运算，设，称Yt为的p阶滑动平均。

2.4.2　差分算子

1.一阶差分

时间序列分析过程中，经常会用到差分运算。对于时间序列差分运算可以表示为：

其中，Δ为差分算子。对于差分后的时间序列来说，它与原序列之间的关系如表2-3所示。

2.高阶差分

差分后的序列仍然可以再次进行差分，即这相对于原序列来说是做了二次差分，方便起见差分后再差分记作并称之为二阶差分。二阶差分序列与原序列之间的关系可以表示为：

或

因此，可以认为差分运算没有顺序，如果考虑更高阶的p阶差分，有：

3.s步差分

另外，差分运算还可以运用于更多间隔的时间点之间。考虑：

其中，Δs称为s步差分。

s步差分的典型用处是测算季度或月度时间序列数据的同比变化，因此也称季节性差分。例如，一个季度时间序列每年有4个季度的数据，如果希望了解每年数据与上年同期相比的变化情况，则可以用四步差分序列来刻画。时间序列与其四步差分序列之间的对应关系如表2-4所示。

4.联合p阶差分和s步差分

对于一个时间序列来说，除了可以单独进行p阶差分和s步差分，有时还需要两种差分运算联合进行。例如，在后面的时间序列建模过程中经常看到一阶四步差分或一阶十二步差分ΔΔ12的情况。值得注意的是，p阶差分和s步差分联合运算时，没有先后顺序之分，即对于时间序列有