3.3　AR模型的统计性质

3.3.1　均值

如果AR（p）模型满足平稳性条件，则有：

根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有

由此可得：

3.3.2　方差

将平稳的AR（p）模型表示成如下的传递形式：

其中系数被称为Green函数。

由平稳AR模型的传递形式：

两边求方差得：

3.3.3　自协方差函数

在平稳AR（p）模型两边同乘再求期望：

根据可以得到自协方差函数的递推公式：

3.3.4　自相关系数

自相关系数的定义是：特别地：

平稳AR（p）模型的自相关系数递推公式：

上述方程称为Yule-Walker方程,

注意：在AR（1）模型中，即使Xt−2没有直接出现在模型中，Xt−2和Xt也是相关的，因为Xt−1=a1Xt−2+εt−1。

所以，Xt−2是通过Xt−1与X相关的，这种间接相关出现在所有AR模型中。

Xt−2与Xt的自相关系数ρ2等于X与Xt−1的自相关系数乘Xt−1与Xt的自相关系数即

平稳AR（p）模型的自相关系数有拖尾性。拖尾性说明Xt之前的每一个序列值Xt−1，Xt−2，…都会对Xt构成影响，但因为自相关系数呈负指数衰减，所以间隔较远的序列值对现时值的影响很小，具有所谓的“短期相关性”。

3.3.5　偏自相关函数

自相关函数ACF（k）给出了Xt与Xt−k的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的相关关系。

例如，在AR（1）中，Xt与Xt−2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt−1间的相关性带来的：

即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。

与之相反，Xt与Xt−k间的偏自相关函数（Partial Autocorrelation，PACF）则是消除了中间变量Xt−1,…,Xt−k+1带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值Xt−1,…,Xt−k+1的条件下，Xt与Xt−k间关系的度量。

定义：对于平稳AR（p）序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k−1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k−1个随机变量Xt−1,…,Xt−k+1的干扰之后，Xt−k对Xt影响的相关度量。用数学语言描述就是：

常用AR模型偏自相关系数公式有如下两种。

（1）AR（1）模型

（2）AR（2）模型