第一篇　集合论与数理逻辑（Set theory & Mathematical logic）

第1章　集合（set）

1.用列举法表示下列集合：

（1）1到100之间的自然数的集合；　　（2）小于5的正整数集合；

（3）偶自然数的集合；　　（4）奇整数的集合.

分析：本题主要考察集合的定义及怎样用列举法表示集合.

解：（1）A={1，2，3，…，100}；　　（2）B={1，2，3，4}；

（3）C={0，2，4，6，8，…}；　　（4）D={…，-5，-3，-1，1，3，5，…}.

2.用描述法表示下列集合：

（1）偶整数的集合；　　（2）素数的集合；

（3）自然数a的整数幂的集合.

分析：本题主要考察集合的定义及怎样用描述法表示集合.

解：（1）E={x|x是能被2整除的整数}；

（2）P={x|x是大于1且只能被1和自身整除的整数}；

（3）A={an|a是自然数，n是整数}.

3.设S={2，a，{3}，4}，R={{a}，3，4，1}，请判断下面的写法正确与否：

（1）{a}∈S；　　（2）{a}∈R；

（3）{a，4，{3}}⊆S；　　（4）{{a}，1，3，4}⊂R；

（5）R=S；　　（6）{a}⊆S；

分析：本题主要考察集合的基本运算.

解：（1）错误；（2）正确；（3）正确；（4）错误；（5）错误；（6）正确；（7）错误；（8）正确；（9）正确；（10）错误；（11）错误；（12）正确.

4.设A，B和C为任意三个集合.以下说法是否正确？若正确则证明之，否则举反例说明.

（1）若A∈B且B⊆C，则A∈C；

（2）若A∈B且B⊆C，则A⊆C；

（3）若A⊆B且B∈C，则A∈C；

（4）若A⊆B且B∈C，则A⊆C.

分析：本题主要考察集合的基本运算.

解：（1）正确.因B⊆C，所以，对任何x∈B均有x∈C，今A∈B，故A∈C.

（2）错误.例如，令A={1}，B={{1}，2}，C={{1}，2，3}.

（3）错误.例如，令A={1}，B={1，2}，C={{1，2}}.

（4）错误.例如，令A=B={1}，C={{1}}.

5.设P={S|S是集合且S∉S}.P是集合吗？请证明你的结论.

分析：本题主要考察对集合定义的理解.

解：假设P是集合.于是，

若P∈P，则由集合的定义，有P∉P；

若P∉P，则由集合的定义，有P∈P.

总之，有P∈P当且仅当P∉P.此为矛盾.故P不是集合.

6.设E={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={1，4，5}，C={4，3}.试求下列集合：

（5）（A-B）-C；（6）A-（B-C）；

分析：本题主要考察子集、交集、并集、补集、差集、对称差运算的基本定义.

7.设A，B和C为任意三个集合，以下说法是否正确？若正确则证明之，否则举反例说明.

（1）若A∪B=A∪C，则B=C；

（2）若A∩B=A∩C，则B=C；

（3）若，则B=C；

（4）若A⊆B∪C，则A⊆B或A⊆C；

（5）若B∩C⊆A，则B⊆A或C⊆A.

分析：本题主要考察包含、并、交、对称差运算的定义及其相互关系.

解：（1）错误.例如，令A={1}，B={1，2}，C={2}.

（2）错误.例如，令A={1}，B={2}，C={3}.

（3）正确.若B≠C，不妨设x∈B而x∉C.于是：

（ⅰ）若x∈A，则，但；

（ⅱ）若x∉A，则，但.

此与 矛盾.故结论成立.

（4）错误.例如，令A={1，2}，B={1}，C={2}.

（5）错误.例如，令A={2}，B={1，2}，C={2，3}.

8.设A，B和C是任意三个集合，试证明：

（1）A=B当且仅当；

分析：本题主要考察对称差、差、运算的相互转换以及集合相等的定义.

证明：（1）设A=B.于是.反之，设.若A≠B，则不妨设x∈A而x∉B.于是x∈A∪B，而x∉A∩B，从而.此为矛盾.故A=B.

（5）取，且A⊇B，A⊇C.于是，，从而，.

但.因此.

9.设A={1，2}，B={2，3}，试确定以下集合：

（1）A×{1}×B；　　（2）A2×B；

（3）（B×A）2.

分析：本题主要考察笛卡儿积的定义.

解：（1）A×{1}×B={<1，1，2>，<1，1，3>，<2，1，2>，<2，1，3>}；

（2）A2×B=（A×A）×B

={<<1，1>，2>，<<1，1>，3>，<<1，2>，2>，<<1，2>，3>，

<<2，1>，2>，<<2，1>，3>，<<2，2>，2>，<<2，2>，3>}

={<1，1，2>，<1，1，3>，<1，2，2>，<1，2，3>，

<2，1，2>，<2，1，3>，<2，2，2>，<2，2，3>}；

（3）B×A={<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3，2>}；

（B×A）2=（B×A）×（B×A）

={<<2，1>，<2，1>>，<<2，1>，<2，2>>，<<2，1>，<3，1>>，<<2，1>，

<3，2>>，<<2，2>，<2，1>>，<<2，2>，<2，2>>，<<2，2>，<3，1>>，

<<2，2>，<3，2>>，<<3，1>，<2，1>>，<<3，1>，<2，2>>，<<3，1>，

<3，1>>，<<31>，<3，2>>，<<3，2>，<2，1>>，<<3，2>，<2，2>>，

<<3，2>，<3，1>>，<<3，2>，<3，2>>}.

10.证明：若A×A=B×B，则A=B.

分析：本题主要是根据集合相等以及笛卡儿积的定义证明.

证明：因为x∈A当且仅当<x，x>∈A×A当且仅当<x，x>∈B×B当且仅当x∈B，所以，当A×A=B×B时，A=B.

11.证明：若A×B=A×C，且，则B=C.

分析：本题主要是根据集合相等以及笛卡儿积的定义证明.

证明：任取y∈B，因，所以存在x∈A，使<x，y>∈A×B，从而<x，y>∈A×C.因此y∈C，即B⊆C.同理可证C⊆B.故B=C.

12.设x，y为任意元素，令<x，y>={{x}，{x，y}}，试证明：<x，y>=<u，υ>当且仅当x=u，y=υ.

分析：本题根据集合相等之定义及集合的互异性证明.

证明：设<x，y>=<u，v>，即{{x}，{x，y}}={{u}，{u，v}}.

（ⅰ）若{x}={u}，{x，y}={u，v}，则有x=u，y=v；

（ⅱ）若{x}={u，v}，{x，y}={u}，则有x=y=u=v.

反之，设x=u，y=v，则由定义有<x，y>=<u，v>.

13.将三元有序组<x，y，z>定义为{{x}，{x，y}，{x，y，z}}合适吗？为什么？

分析：本题根据有序组相等的定义及集合的互异性证明.

解：不合适.例如，由定义

<1，2，1>={{1}，{1，2}，{1，2，1}}={{1}，{1，2}}

而

<1，1，2>={{1}，{1，1}，{1，1，2}}={{1}，{1，2}}

但显然

<1，2，1>≠<1，1，2>