§4　点、直线和平面之间的度量关系

本节均在右手直角坐标系中讨论.

4.1　点到直线的距离

设直线l经过点M0，方向向量为υ.由图2.6可看出，点M到直线l的距离d是以υ为邻边的平行四边形的底边υ上的高，因此有

图2.6

4.2　两条直线的距离

定义4.1　两条直线上的点之间的最短距离称为这两条直线的距离.

如果l1∥l2，则l1上的一个点到l2的距离就是l1与l2的距离；

都相交的直线l的方程为

如果l1与l2相交或重合，则l1与l2的距离为零.

下设l1与l2异面，li经过点Mi，方向向量为υi（i=1，2），且υ1与υ2不共线，M1≠M2.

定义4.2　分别与两条异面直线l1，l2垂直相交（即正交）的直线l称为l1与l2的公垂线，两垂足的连线段称为公垂线段.

命题4.1　两条异面直线l1与l2的公垂线存在且唯一.

证明　存在性　因为υ1与υ2不共线，所以υ1与υ1×υ2不共线.于是M1，υ1，υ1×υ2决定一个平面π1.同理，M2，υ2，υ1×υ2决定一个平面π2.因为υ1与υ2不共线，根据习题1.5第11题，υ1×（υ1×υ2）与υ2×（υ1×υ2）不共线，而它们分别是π1和π2的法向量，于是π1与π2必相交，设交线为l（如图2.7）.l的方向向量为

根据习题1.5第10题，这个向量等于|υ1×υ2|2（υ1×υ2），因此υ1×υ2就是l的一个方向向量.由于

所以

l⊥li，i=1，2.

因为l与li都在πi内，且υ1×υ2与υi不共线，所以l与li（i=1，2）相交.这表明π1与π2的交线l就是l1与l2的公垂线.

唯一性　假如l′也是l1与l2的公垂线，则l′的方向向量垂直于υi（i=1，2），从而υ1×υ2就是l′的一个方向向量.因为l′在由l i和υ1×υ2决定的平面πi（i=1，2）内，所以l′是π1与π2的交线.于是l′与l重合.

命题4.2　两条异面直线l1与l2的公垂线段的长就是l1与l2的距离.

证明　如图2.8所示，设P1P2是l1与l2的公垂线段.在li上任取一点Qi（i=1，2）.作出由M1，υ1，υ2决定的平面π，于是公垂线P1P2⊥π.由Q2作π的垂线，设垂足为N.因为l2∥π，所以P1P2=Q2N.于是

|Q2Q1|≥|Q2N|=|P1P2|.

所以|P1P2|是l1与l2上的点之间的最短距离，即l1与l2的距离.

命题4.3　设两条异面直线l1，l2分别经过点M1，M2，方向向量分别为υ1，υ2，则l1与l2的距离为

证明　设l1与l2的公垂线段为P1P2.因为公垂线的方向向量为υ1×υ2，所以与υ1×υ2共线.记e=（υ1×υ2）0，则

公式（4.2）的几何意义是：两条异面直线l1与l2的距离d等于以，υ1，υ2为棱的平行六面体的体积除以以υ1，υ2为邻边的平行四边形的面积.

4.3　两条直线所成的角，直线和平面所成的角

定义4.3　两条直线所成的角规定为它们的方向向量夹角中不大于π/2的那个角.

定义4.4　直线l与平面π（l不垂直于π）所成的角规定为l与它在π上的射影所成的角θ.当l⊥π时，l与π所成的角规定为π/2.

设平面π的一个法向量为n,l的一个方向向量为υ，则从图2.9可看出

θ=π/2-〈υ，n〉

或

θ=〈υ，n〉-π/2

因此

sinθ=|cos〈υ，n〉|.

习题　2.4

1.求下列点到直线的距离：

（1）点（-1，-3，5）T到直线x-1

（2）点（1，0，2）T到直线

2.求下列各对直线的距离：

3.求下列各对直线的公垂线的方程：

4.求下列各对直线所成的角：

5.求下列直线与平面所成的角.

（1）直线与平面x-2y+4z-1=0；

（2）直线

与平面2x-z+1=0.

6.求平面Ax+By+Cz+D=0与坐标轴所成的角.在怎样的条件下，此平面与三根坐标轴成等角？

7.设异面直线l1，l2的方程分别为

求与l1，l2等距离的平面的方程.

8.已知两条异面直线l1和l2，证明：连接l1上任一点和l2上任一点的线段的中点轨迹是公垂线段的垂直平分面.

9.在给定的直角坐标系中，点P不在坐标平面上，从点P到Ozx平面，Oxy平面分别作垂线，垂足为M和N.设直线OP与平面OMN,Oxy,Oyz,Ozx所成的角分别为θ，α，β，γ，证明：

csc2θ=csc2α+csc2β+csc2γ.