2.1 随机变量：骰子游戏

骰子，俗称色子，是全世界都熟知的赌博道具。骰子的历史可以追溯到古巴比伦、古埃及时期，在中国古代的赌场里，也是赌博道具的不二之选。你可不能小看这小小的骰子，它对概率思想的启蒙做出了不可磨灭的贡献。

文艺复兴时期，意大利学者吉罗拉莫·卡尔达诺曾撰文研究骰子原理：“在下注之前，你需要知道所有可能的结果，然后对比一下输赢的结果各有多少种，再按照这个比例去设置奖金，这样才能确保赌局的公平。”这大概是“概率思想”最早的启蒙，在当时是相当有革命性的思想。其后，著名的物理学家伽利略也对赌博中的数学原理产生了兴趣，并撰写了《骰子的研究》一书，在书中，他开创性的研究了掷多个骰子时可能出现的点数，以及这些点数会在怎样的情况下出现。在那之后，赌博中的数学问题引起了很多学者的思考和讨论，其中包括著名数学家帕斯卡和费马。

我们回到过去，一起来看一看在概率论尚未建立时，聪明人是怎么利用骰子赚钱的。

掷骰子游戏

据资料记载，一个化名莫雷的赌徒曾经靠一个骰子游戏赚了很多钱，游戏的玩法是：连续掷骰子四次，如果出现至少一个六点，则莫雷赢；反之，莫雷输。要弄清楚莫雷为什么总是赢，就要计算一下双方赢的概率。要计算掷四次至少出现一个六点的概率，可以用逆向思维，计算掷四次没有任何一次出现六点的概率，再用1减去算出的概率即可，由于每次掷骰子都是彼此独立的，因此：

P（莫雷赢）=1-P（掷四次没有任何一次出现六点）

=1-P（第一次没出现六点）×P（第二次没出现六点）×

P（第三次没出现六点）×P（第四次没出现六点）

=1-（5/6）×（5/6）×（5/6）×（5/6）

=0.518

相对的，P（莫雷输）=（5/6）×（5/6）×（5/6）×（5/6）=0.482

莫雷赢得赌局的概率总是大于对手，所以莫雷可以靠这个赌局赚到钱，对吗？

不对！因为赌徒赚的可不是概率，是真金白银，我们忘记了赌局上最重要的东西——筹码。在莫雷的赌局中，双方的筹码是对等的，假定为“一两黄金”，也就是说，莫雷和对手各自拿出一两黄金作为筹码，如果出现了六点，莫雷拿走对手的一两黄金，如果没出现六点，莫雷将一两黄金送给对手。如表2-1所示，我们设定了一个关联关系——赌局结果与莫雷赢得的筹码之间的关联，莫雷赢得一两黄金的概率是0.518，莫雷输掉一两黄金的概率是0.482，如果将筹码的单位去掉，便可以表示成“+1”对应的概率是0.518,“-1”对应的概率是0.482。

在概率论中，莫雷赢得的筹码就是一个随机变量。

随机变量

假设随机试验有若干个可能的结果A1, A2, …, An，如果变量X满足：A1, A2, …, An每一个都对应X的一个数值，那么，X就称为随机变量。

上面的例子中，赌局是随机试验，赌局有两种可能的结果A1：莫雷赢，A2：莫雷输，莫雷赢得的筹码是变量X, A1对应X=+1, A2对应X=-1，所以，X是一个随机变量。也就是说，随机试验的每一个结果都对应X的一个值。

一个随机试验可以包含不止一个随机变量，我们仍以骰子游戏为例。

小红、小黄和小蓝三个小朋友玩骰子游戏，规则是：扔一次骰子，出现一点或二点，小红赢；出现三点或四点，小黄赢；出现五点或六点，小蓝赢。游戏开始时，三个小朋友各自有五块泡泡糖，每局的赌注是一人一块泡泡糖，赌局一直进行到有人输光为止。

骰子的每个点数出现的概率都是1/6，游戏中有三位小朋友，可以设定三个随机变量，分别是：

随机变量X：小红一局赢得的泡泡糖数量；

随机变量Y：小黄一局赢得的泡泡糖数量；

随机变量Z：小蓝一局赢得的泡泡糖数量。

我们把游戏结果和随机变量一一列出，如表2-2所示。

离散与连续

有这样一串数字，“1231,1231,345,345,5654,31,5654,31,2510,2510”，你能发现这串数字的奥秘吗？

也许有些读者一眼就看穿了我的把戏，但我还是不想现在就公布答案，我们先来讨论随机变量的两个平行世界——离散和连续。

现在，环顾你的四周，你能看到什么？你的手、这本书、手机、绿植等，这是我们看到的世界——宏观世界，这个世界里的东西总是可以用计数的，比如，你有两只手，你的手上有一本书，你有一部手机，手机里有两张SIM卡，你的绿植又生出了一片新叶。可是，世界并非全部如你所见。你一定记得，多年前的生物课上，当你第一次从显微镜里看到一团蠕动的细胞时，是多么的惊讶和好奇，那仿佛是另一个世界！科学告诉我们，显微镜下的细胞与我们看到的绿叶身处同一个世界，只不过它们太微小了，我们看不到。我们常把肉眼看到的世界称为宏观世界，把那个看不见的世界称为微观世界。

在数学世界里，也有宏观与微观的划分。我们从小学习的四则运算、一元二次方程等都是“宏观世界”的数学语言，直到我们遇上那几个让人抓狂的符号——“∫, Δ, ∂”。从此，我们进入了数学的“微观世界”，那些简单的四则运算在“微观世界”里统统变了模样，它们演化成全新的运算规划——微积分。微微分扩张了概率论的疆域，随机变量不再只是赌徒的筹码，它也可以是时间、温度，于是，随机变量便自然地划分为两类——离散与连续。

离散随机变量，指的是随机变量的取值是有限的或可列无限个。比如，小红一局赢得的泡泡糖数量只有两个可能的取值；又如，一个把所有正整数都刻在上面的骰子，这个骰子掷出的点数可能是任何一个正整数，这就是“可列无限个”的离散随机变量。

连续随机变量，指的是随机变量的取值有无限多个并且不可列出。当我们把时间、温度、空间等无法一一罗列出来的指标作为随机变量的时候，连续随机变量就出现了。

有关离散随机变量和连续随机变量的讨论才刚刚开始，在后续章节中，我们会认识很多常用的随机变量，它们有些是离散的，有些是连续的，但无一例外地都是概率论的重要成员。有关离散和连续的关系，我想了很久，想到了一个比喻：音符与音乐。一首曲子，曲谱只是一个个“离散”的数字，没有规律，没有内涵，但当这曲谱被演奏出来时，“离散”的数字化为“连续”的乐音，这乐音弥散在空中，让你陶醉，而你早已忘却了那一个个分离的音符，这就是“离散”与“连续”的完美结合。

最后，我要告诉你，那一串貌似神秘的数字其实是一首歌的乐谱，歌名是——《两只老虎》。