第二节　序数效用论

基数效用论认为效用是可以计量的，但效用从本质上来说是一种心理现象，没有客观的计算标准亦无法用数字来测定。对此，帕累托（Pareto）及希克斯（Hicks）发展出一套在消费者偏好基础上研究人的消费行为的新的效用理论，即“序数效用论”。所谓序数效用论，即消费者对自己所消费商品的喜好程度，虽然不能用数字来表示大小，但至少能将其喜好的顺序加以排列。这种方法构成了现代经济学中消费者行为理论的基础。

一、预算线

1预算线的概念

预算线（budget line）又称为预算约束线、消费可能线和价格线，表示在消费者的收入和商品的价格给定的条件下，消费者的全部收入所能购买到的两种商品的各种组合，如图2-2所示。

图2-2　预算线

假定以I表示消费者的既定收入，以P₁和P₂分别表示商品1和商品2的价格，以X₁和X₂分别表示商品1和商品2的数量，那么，相应的预算等式为：P₁X₁＋P₂X₂＝I。

该预算线的斜率为－（P₁/P₂），它的经济学含义是：市场愿意用商品X₁来“替代”商品X₂的比率。

2税收、补贴和配给

（1）税收对预算线的影响

从量税（quantity tax）指消费者对他所购买的每一单位商品都得支付一定的税收。对于消费者来说，从量税就相当于提高所征税商品的价格，即如果对商品1征收t的从量税，相当于把商品1的价格从P₁提高为P₁＋t。新的预算线为：（P₁＋t）X₁＋P₂X₂＝I。

从价税（value tax）指对商品的价值——价格——而不是对所购买商品的数量所征收的税。如果对商品1征税率为τ的从价税，相当于把商品1的价格从P₁提高为（1＋τ）P₁。新的预算线为：（1＋τ）P₁X₁＋P₂X₂＝I。

总额税指不管消费者的行为如何，政府都要取走一笔固定金额的货币T₀，这会使预算线向内平移，斜率不变。新的预算线为：P₁X₁＋P₂X₂＝I－T₀。

（2）补贴对预算线的影响

从量补贴（quantity subsidy）指政府根据消费者购买的数量来给予消费者一定的补贴。如果对每单位商品1补贴s，相当于把商品1的价格从P₁改为P₁－s。

新的预算线为：（P₁－s）X₁＋P₂X₂＝I。

从价补贴（ad valorem subsidy）是根据被补贴商品的价格实行的补贴。如果对商品1的从价补贴率为σ，就相当于把商品1的价格从P₁改为（1－σ）P₁。

新的预算线为：（1－σ）P₁X₁＋P₂X₂＝I。

总额补贴指不管消费者的行为如何，政府都会给予一笔固定金额的货币T₀，这会使预算线向外平移。

新的预算线为：P₁X₁＋P₂X₂＝I＋T₀。

（3）配给对预算线的影响

配给即控制某些商品的消费量，使其不能超过某个数量。

假设商品1是实行配给供应的，一个消费者对商品1的消费数量不得超过x(＿)₁。那么实行配给供应后的预算集就是原来的预算集砍掉了一块，如图2-3所示。

图2-3　受配给限制的预算约束

二、序数效用论——无差异曲线分析

1关于偏好的假定

所谓消费者偏好（consumer preferences）是指消费者根据自己的意愿对其所消费的可能的商品组合所进行的喜好顺序的排列。序数效用论者提出了关于消费者偏好的以下基本假定：

（1）完备性

假定任何两个消费束都是可以比较的。或者说，给定两个消费束X和Y，理性消费者能够确定哪一个是更好的或者两者无差异，即消费者具有必要的能力与知识去区分与评价不同的消费计划。

（2）反身性

任何消费束至少与它本身是同样好的。

（3）传递性

给定消费束X、Y和Z，如果X好于Y，Y好于Z，则X一定好于Z。这说明消费者的选择是一致的。

为了使得无差异曲线具有良好形状或者说使得消费者行为便于分析，序数效用论者还添加了以下两个假定：

①偏好的非饱和性

偏好的非饱和性指如果两个商品组合的区别仅在于其中一种商品的数量不相同，那么，消费者总是偏好于含有这种商品数量较多的那个商品组合。即就商品（goods）而非厌恶品（bads）而言，人们希望是多多益善。

②偏好的凸性

如果X≥Y，那么，对于所有λ∈[0，1]，有λX＋（1－λ）Y≥Y。这在几何意义上表示的是，消费者的消费束集是个凸状集。

偏好与偏好假定为借助无差异曲线分析消费者行为提供了条件。

2无差异曲线及其特点

（1）无差异曲线的含义

无差异曲线（Indifference curve）指在某特定期间内，某消费者为维持一个相同的效用水平，对其所消费两种物品各种不同组合所形成的点的轨迹。无差异曲线的绘制如图2-4所示。

图2-4　无差异曲线

与无差异曲线相对应的效用函数可表示为：U＝f（X₁，X₂）＝U⁰。

（2）无差异曲线的三个基本特征

①在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。离原点距离远的无差异曲线比离原点距离近的无差异曲线效用大（效果看作是描述偏好的一种方法）。

②在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交（学员应学会画图证明）。

图2-5　无差异曲线不能相交

图2-5中，a和b这两个消费束在同一条无差异曲线上，表明消费者对这两个消费束偏好相同；a和c这两个消费束在同一条无差异曲线上，表明消费者对这两个消费束偏好相同。根据传递性公理，可以推出：b～c。问题是，c消费束带来的效用水平明显高于b消费束带来的效用水平，即理性的消费者更偏向于c消费束。

③无差异曲线凸向原点，且无差异曲线的斜率的绝对值是递减的，体现了边际替代率递减规律。

3效用函数

（1）效用函数的概念

在以消费者偏好为基础的消费者行为理论中，效用仅仅看作是描述偏好的一种方法（Utility is seen only as a way to describe preferences）。也就是说，消费束X的效用大于消费束Y的效用，意味着对消费束（x₁，x₂）的偏好超过对消费束（y₁，y₂）的偏好。

效用函数（utility function）是一种为每个可能的消费束指派一个数字的方法，消费束受偏好越多，所被指派的数字越大。即：如果u（·）是效用函数，则两个消费束

需要注意的是，效用函数仅仅是一种表示或概况偏好排列次序的方法。效用水平的数值并没有实质性的含义。

（2）效用函数的单调变换

单调变换是以保持数字次序不变的方式将一组数字变换成另一种数字的方法。由于效用仅仅看作是描述偏好的一种方法，一个效用函数的正单调变换还是一个效用函数，它所代表的偏好与原效用函数相同。

【名师点评】在计算题解题过程中，利用效用函数的单调变换可以极大地简化计算过程和计算难度，有助于迅速解题。

（3）从效用函数推导无差异曲线

给定一个效用函数u（x₁，x₂），通常可以采用以下步骤来推导无差异曲线：

第一，令常数k＝u（x₁，x₂），适当变换表示为函数x₂＝f（x₁），从而根据这个表达式画出相应的无差异曲线的形状。

第二，变化k的大小（也即效用值）看曲线的变化，这样就能很快地画出无差异曲线的形状和变化方向。

第三，画出无差异曲线后，在该曲线上随便找出两点，连接两点，看线上的点是否比端点达到更高的效用。如果线上的点比端点效用和端点一样甚至更好，则为凸性偏好，如果线上的点比端点效用更差，则不是凸性偏好。

4边际替代率及其递减法则

（1）商品的边际替代率

商品的边际替代率（marginal rate of substitution，MRS）是指在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要的放弃的另一种商品的消费数量。商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：

MRS₁₂＝－（ΔX₂/ΔX₁）

之所以在公式中加一个负号，是为了使MRS₁₂为正值。边际替代率的另一种重要数学表述为：

MRS₁₂＝MU₁/MU₂

可以用全微分法证明如下：

维持效用水平不变，即使得效用增量dU＝0，这种变化可以表示为：dU＝（∂U/∂X₁）·dX₁＋（∂U/∂X₂）·dX₂＝0。

整理得：MRS₁₂＝MU₁/MU₂。

（2）商品的边际替代率递减规律

商品的边际替代率递减规律是指：在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。

边际替代率递减应满足以下条件：f₂²f₁₁－2f₁f₂f₁₂＋f₁²f₂₂＜0。

证明如下：

MRS＝f_x/f_y＝f₁/f₂＝－dy/dx

因为f₁/f₂＝－dy/dx，所以，有：

由于f₁₂＝f₂₁，得：

由于边际效用为正，f₂＞0，所以边际替代率递减，应满足：f₂²f₁₁－2f₁f₂f₁₂＋f₁²f₂₂＜0。

从几何意义上讲，由于商品的边际替代率是无差异曲线的斜率的绝对值，所以，边际替代率递减规律决定了无差异曲线的斜率的绝对值是递减的，即无差异曲线是凸向原点的。

【名师点评】边际替代率递减跟之前介绍的边际效用递减有关系。之所以有商品边际替代率递减，其原因在于：随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的，从而消费者为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少。由此可知，边际效用递减决定了边际替代率递减。

5无差异曲线的特殊形状

（1）完全替代品

完全替代品（perfect substitutes）指两种商品之间的替代比例是固定不变的情况。在完全替代的情况下，两商品之间的边际替代率MRS₁₂就是一个常数，相应的无差异曲线是一条斜率不变的直线，向下倾斜。如两种商品相应的效用函数为：U（x₁，x₂）＝ax₁＋bx₂。

（2）完全互补品

完全互补品（perfect complements）指两种商品必须按固定不变的比例同时被使用的情况。在完全互补的情况下，相应的无差异曲线为直角形状。如两种商品相应的效用函数为：U（x₁，x₂）＝min（ax₁，bx₂）。

（3）厌恶品

厌恶品（Bads）就是消费者不喜欢的商品。假设消费者消费的两种商品，一个是喜欢的，一个是厌恶的，当消费者要增加对厌恶品的消费时，若要保持偏好不变，必须要增加对喜欢品的消费，即对消费者进行补偿。厌恶品的无差异曲线如图2-6所示。

图2-6　厌恶品的无差异曲线

图2-6中，对应的无差异曲线的斜率为正，表示要保持偏好不变，消费束的两种商品消费是同时增加的。假如两种商品都是厌恶品，则对应的无差异曲线的斜率为负，在这种情况下，无差异曲线离原点越近，代表的效用就越高。

（4）中性商品

中性商品是消费者无论从哪方面说都不在乎的商品（A good is a neutral good if the consumer doesn’t care about it one way or the other）。中性商品的无差异曲线如图2-7所示。

图2-7　中性商品的无差异曲线

图2-7中，中性商品的无差异曲线为垂直于横轴的直线。也就是说，消费者关心的是正常商品的数量，正常商品越多越好，对中性商品的数量不在乎。

三、消费者均衡

1消费者均衡条件

在一定的预算约束下，为了实现最大的效用，消费者应该选择最优的商品组合，使得两商品的边际替代率等于两商品的价格之比。消费者的最优购买行为必须满足以下两个条件：

（1）它必须位于预算线上。

（2）它必须能给予消费者其最偏好的商品和服务组合。

图2-8　消费者均衡

如图2-8所示，序数效用论条件下的消费者均衡条件为MU₁/MU₂＝P₁/P₂，表示无差异曲线与预算线相切的切点即为消费者均衡点。这一均衡条件可以用数学方法予以证明。证明如下：

第一步，将经济问题转化成数学模型，即：在约束条件P₁X₁＋P₂X₂＝I下，求U（X₁，X₂）的最大值。

第二步，数学求解。构造拉格朗日函数L＝U（X₁，X₂）－λ（P₁X₁＋P₂X₂－I）。拉格朗日定理认为，最优选择必定满足以下三个一阶条件：

∂L/∂X₁＝[∂U（X₁，X₂）/∂X₁]－λP₁＝0

∂L/∂X₂＝[∂U（X₁，X₂）/∂X₂]－λP₂＝0

∂L/∂λ＝P₁X₁＋P₂X₂－I＝0

可得：MU₁/MU₂＝P₁/P₂或MU₁/P₁＝MU₂/P₂。

第三步，经济意义解释。当商品的边际效用之比等于它们价格比时，就达到了消费者均衡。或者说，当花在所有商品上的每一单位货币所带来的边际效用相等时，消费者实现了效用最大化。

2最大化的二阶条件

相切原则不是获得最大效用的充分条件。如果无差异曲线不满足边际替代率递减的假设，那么并非所有的切点都是能达到效用最大化的点。如图2-9所示，切点C的商品组合的效用低于其他许多能用现有货币购买的商品组合的效用。为了保证效用最大化的必要条件（也即相切条件）同时也是充分条件，通常要假定边际替代率是递减的。

图2-9　相切条件并不能保证最大效用的无差异曲线举例

3角点解

所谓角点解（corner solution）是一种极端的情况，它是当一种商品不被消费（或选择）而只消费另一种商品时，最优选择点出现在预算约束线的端点上的情况。当角点解出现时，消费者的边际替代率在所有的消费水平下都不等于价格之比。这时，消费者只消费两种商品中的一种可使其实现效用最大化。

图2-10　效用最大化问题的角点解

如图2-10所示，一组表示偏好的无差异曲线中，效用最大的点在E点，此时商品y的消费量为零。

【例2.1】市场上黄瓜价格P_X＝3元，西红柿价格P_Y＝4元，张三的收入为50元，其效用函数为U（X，Y）＝X²＋Y²的平方根。

（1）根据上述条件计算张三的最大效用；

（2）做出张三的无差异曲线和预算线的图，分析张三的最优消费组合，与（1）对比，说明其有何区别并说明理由。（中国人民大学2010研）

解：（1）由题意得预算约束方程为3X＋4Y＝50。由效用函数

得：

边际替代率MRS_XY＝MU_X/MU_Y＝X/Y，可见边际替代率是随着X的增加而增加的，所以不能根据消费者均衡条件MU_X/P_X＝MU_Y/P_Y去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足），此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得，在点（0，25/2）处的效用为25/2，在另外一个点（50/3，0）的效用为50/3，因此张三的最大效用是50/3。

（2）张三的无差异曲线和预算线如图2-11所示，对应的无差异曲线凹向原点，最优选择点为a点，此时张三效用水平为最大值。

图2-11　张三的无差异曲线和预算线

【名师点评】（1）本题与尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第四章课后习题第4题非常相似。对于报考名校的学员来说，微观部分，建议做尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）以及平新乔《微观经济学十八讲》课后习题，这两本教材的课后习题经常被名校适当修改后作为考研真题。

（2）很多学员在本题作答时，潜意识地将无差异曲线画成凸向原点的标准形式，直接利用消费者均衡条件来作答，这是不正确的。消费者均衡条件的应用是有条件的，即必须满足边际替代率递减规律。

（3）学员在作答时，还可以利用效用函数的特殊形式来进行分析：从效用函数来看，X、Y为对偶函数，即X、Y对于张三来说是无差异的，显然哪种商品价格便宜，消费者就会将所有的收入全部用来购买这种商品，而不会购买价格相对贵的另外一种商品。

（4）学员在作答时一定要小心谨慎。一些学员在作答时，疏忽大意，看成效用函数为U（X，Y）＝X²＋Y²，忽略掉平方根，导致结果不对。

四、最优选择的若干例子

1完全替代

完全替代情况下的最优选择如图2-12所示，通常在预算约束线边界上。

图2-12　完全替代情况下的最优选择

对商品1来说，需求函数为：

其中，m表示消费者的收入。

2完全互补品

完全互补情况下的最优选择必然总是出现在对角线上，如图2-13所示。

图2-13　完全互补情况下的最优选择

关于商品1和商品2的最优选择为：x₁＝bm/（bP₁＋aP₂），x₂＝am/（bP₁＋aP₂），其中，m表示消费者的收入。

3柯布-道格拉斯偏好

假定效用函数为柯布-道格拉斯形式：U（x₁，x₂）＝x₁^cx₂^d，那么最优选择为：

x₁＝c/（c＋d）·（m/P₁）

x₂＝d/（c＋d）·（m/P₂）

在此基础上可推导出：

P₁x₁/m＝c/（c＋d）

P₂x₂/m＝d/（c＋d）

可以看出：柯布-道格拉斯偏好会将固定比例收入用在两种商品上，比率取决于效用函数U（x₁，x₂）＝x₁^cx₂^d上的参数c和d，且一种商品的消费量与另一种商品的价格无关，仅与该商品价格、收入和参数有关。

五、收入、价格的变动和需求——比较静态分析

1收入-消费曲线和恩格尔曲线

在商品价格不变的情况下，当收入变化时，预算线平行的移动，会产生一连串的最优需求束，把这一连串的需求束连接起来的曲线就是收入-消费曲线，也称为收入扩展线（income expansion path）。

恩格尔曲线（Engel curve）表示的是在所有商品的价格保持不变时，商品需求量随收入的变化而变化的情况，为点（X₁，I）移动的轨迹。收入-消费曲线和恩格尔曲线的推导过程如图2-14所示。

图2-14　收入-消费曲线和恩格尔曲线

图2-14的收入-消费曲线表示价格不变条件下，不同收入水平上的最优选择。当绘制出商品x₁对应于收入水平的I最优选择时，就得到了商品x₁的恩格尔曲线。

按照收入-消费曲线，可将商品分为正常品和劣等品：

（1）在其他条件不变的情况下，当收入增加（或减少）时，则对商品的需求亦会增加（或减少）；即收入和对商品的需求呈同方向变动，则此类商品便称之为正常品（normal goods）。

（2）在其他条件不变的情况下，当收入增加（或减少）时，则对商品的需求反而减少（或增加）；即收入和对商品的需求呈反方向变动，则此类商品便称之为劣等品（inferior goods）。

2价格-消费曲线和需求曲线

在收入和其他商品价格不变的情况下，让一种商品的价格变化形成一系列需求束，将这些需求束连接起来，就是价格-消费曲线，即价格-消费曲线是在消费者的偏好、收入以及其他商品价格不变的条件下，由于消费者所购买的两种商品的相对价格发生变化而引起的均衡商品购买量组合点的轨迹。

需求曲线（demand curve）是商品的需求量和价格关系的曲线，为点（x₁，P）移动的轨迹。价格-消费曲线和需求曲线的推导过程如图2-15所示。

图2-15　价格-消费曲线和需求曲线

图2-15中的价格-消费曲线表示商品X₁价格变动时的各个最优选择点。相应的需求曲线表示作为其价格的函数的商品X₁的最优选择点。

3正常商品与低档商品VS普通商品与吉芬商品

需求与收入的关系划分：

正常品（normal good）：需求与收入同方向变动，Δx₁/Δm＞0，恩格尔曲线向右上方倾斜；

劣等品（inferior good）：需求与收入反方向变动，Δx₁/Δm＜0，恩格尔曲线向左上方倾斜。

需求与价格的关系划分：

普通商品（ordinary good）：商品的需求与价格反方向变动，Δx₁/ΔP₁＜0，需求曲线向右下方倾斜；

吉芬商品（Giffen good）：商品的需求与价格同方向变动，Δx₁/ΔP₁＞0，需求曲线向右上方倾斜。

【例2.2】证明：若消费者的全部收入只购买两种商品，那么这两种商品不可能都是劣等品。（南开大学2003研；中央财经大学2007研；对外经济贸易大学2010研；中南大学2011研）

证明：劣等品是指随着消费者收入的增加，其需求量减少的商品。如果假设x_i（p，m）是第i种商品的马歇尔需求函数，那么商品i是劣等品就意味着[∂x_i（p，m）]/∂m＜0。对于消费两种商品的消费者，如下的预算约束恒成立：

p₁x₁（p₁，p₂，m）＋p₂x₂（p₁，p₂，m）＝m①

①式两边关于收入m求导，得到：

p₁·[∂x₁（p₁，p₂，m）/∂m]＋p₂·[∂x₂（p₁，p₂，m）/∂m]＝1②

对于消费两种商品的消费者，等式②恒成立。

下面来证明本题的结论，假设商品1和2都是劣等品，那么就有[∂x_i（p，m）]/∂m＜0，i＝1或2，从而②式左边恒小于零，等式②不成立，矛盾！所以如果一个消费者只消费两种商品，那么它们不可能都是劣等品。

【名师点评】（1）本题与平新乔《微观经济学十八讲》第三讲课后习题第1题非常相似。对于报考名校的学员来说，微观部分，平新乔《微观经济学十八讲》由于时间关系，教材可以不看，但是该书课后习题一定要做。

（2）考虑到该题非常地经典，很多高校在研究生入学考试中多次考到，建议学员一定要掌握答题方法。

（3）至于马歇尔需求函数，有兴趣的学员可以看平新乔《微观经济学十八讲》、范里安《微观经济学（高级教程）》（第3版）等高级微观经济学教材。