第六节　线性代数

单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）

1设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，行列式等于（　　）。[2010年真题]

A．－|A||B|

B．|A||B|

C．（－1）^m＋n|A||B|

D．（－1）^mn|A||B|

【答案】D

【解析】行列式经过m×n次列变换得到行列式即：

2设A、B均为三阶方阵，且行列式|A|＝1，|B|＝－2，A^T为A的转置矩阵，则行列式|－2A^TB^－1|＝（　　）。[2018年真题]

A．－1

B．1

C．－4

D．4

【答案】D

【解析】因为A、B均为三阶方阵，计算得|－2A^TB^－1|＝（－2）³×|A^T|×|B^－1|＝（－2）³×1×（－1/2）＝4。

3设A、B为三阶方阵，且行列式|A|＝－1/2，|B|＝2，A^*为A的伴随矩阵，则行列式|2A^*B^－1|等于（　　）。[2014年真题]

A．1

B．－1

C．2

D．－2

【答案】A

【解析】因为|kA|＝kⁿ|A|，|A^*|＝|A|^n－1，|A^－1|＝1/|A|，而且A、B为三阶方阵，所以行列式

2|A^*B^－1|＝2³×|A|²×1/|B|＝8×（1/4）×（1/2）＝1

4矩阵的逆矩阵A^－1是（　　）。[2017年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】用矩阵的基本变换求矩阵的逆矩阵，计算如下

则有矩阵A的逆矩阵为

5设

则A^－1＝（　　）。[2011年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由A·A^*＝|A|·E，得A^－1＝A^*/|A|，其中|A|＝－1；

故可得：

6设3阶矩阵已知A的伴随矩阵的秩为2，则a＝（　　）。[2011年真题]

A．－2

B．－1

C．1

D．2

【答案】A

【解析】由矩阵与伴随矩阵秩的关系式：

可知，r（A）＝2。故|A|＝0，得：a＝－2或a＝1。当a＝1时，r（A）＝1。故a＝－2。

7若使向量组α₁＝（6，t，7）^T，α₂＝（4，2，2）^T，α₃＝（4，1，0）^T线性相关，则t等于（　　）。[2016年真题]

A．－5

B．5

C．－2

D．2

【答案】B

【解析】α₁、α₂、α₃三个列向量线性相关，则由三个向量组成的行列式对应的值为零，即：

解得：t＝5。

8设α₁，α₂，α₃，β是n维向量组，已知α₁，α₂，β线性相关，α₂，α₃，β线性无关，则下列结论中正确的是（　　）。[2012年真题]

A．β必可用α₁，α₂线性表示

B．α₁必可用α₂，α₃，β线性表示

C．α₁，α₂，α₃必线性无关

D．α₁，α₂，α₃必线性相关

【答案】B

【解析】由α₁，α₂，β线性相关知，α₁，α₂，α₃，β线性相关。再由α₂，α₃，β线性无关，α₁必可用α₂，α₃，β线性表示。

9已知向量组α₁＝（3，2，－5）^T，α₂＝（3，－1，3）^T，α₃＝（1，－1/3，1）^T，α₄＝（6，－2，6）^T，则该向量组的一个极大线性无关组是（　　）。[2013年真题]

A．α₂，α₄

B．α₃，α₄

C．α₁，α₂

D．α₂，α₃

【答案】C

【解析】

可见α₁，α₂是该向量组的一个极大线性无关组。

10要使齐次线性方程组

有非零解，则a应满足（　　）。[2018年真题]

A．－2＜a＜1

B．a＝1或a＝－2

C．a≠－1且a≠－2

D．a＞1

【答案】B

【解析】齐次线性方程组的系数矩阵作初等变换如下

要使齐次线性方程组有非零解，则矩阵的秩r＜3，因此得a－1＝0或－（a＋2）（a－1）＝0，计算得a＝1或a＝－2。

【说明】n元齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充要条件是r（A）＜n。

11设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充分必要条件是（　　）。[2017年真题]

A．矩阵A的任意两个列向量线性相关

B．矩阵A的任意两个列向量线性无关

C．矩阵A的任一列向量是其余列向量的线性组合

D．矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合

【答案】D

【解析】线性方程组Ax＝0有非零解⇔|A|＝0⇔r（A）＜n，矩阵A的列向量线性相关，所以矩阵A必有一个列向量是其余列向量的线性组合。

12已知n元非齐次线性方程组Ax＝B，秩r（A）＝n－2，α₁，α₂，α₃为其线性无关的解向量，k₁，k₂为任意常数，则Ax＝B的通解为（　　）。[2014年真题]

A．x＝k₁（α₁－α₂）＋k₂（α₁＋α₃）＋α₁

B．x＝k₁（α₁－α₃）＋k₂（α₂＋α₃）＋α₁

C．x＝k₁（α₂－α₁）＋k₂（α₂－α₃）＋α₁

D．x＝k₁（α₂－α₃）＋k₂（α₁＋α₂）＋α₁

【答案】C

【解析】n元非齐次线性方程组Ax＝B的通解为Ax＝0的通解加上Ax＝B的一个特解。因为r（A）＝n－2，Ax＝0的解由两个线性无关的向量组成，所以α₂－α₁，α₂－α₃是Ax＝0的两个线性无关解。所以Ax＝B的通解为：x＝k₁（α₂－α₁）＋k₂（α₂－α₃）＋α₁。

13若非齐次线性方程组Ax＝b中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是（　　）。[2013年真题]

A．Ax＝0仅有零解

B．Ax＝0必有非零解

C．Ax＝0一定无解

D．Ax＝b必有无穷多解

【答案】B

【解析】因非齐次线性方程组未知量个数大于方程个数，可知系数矩阵各列向量必线性相关，则对应的齐次线性方程组必有非零解。

14齐次线性方程组的基础解系为（　　）。[2011年真题]

A．α₁＝（1，1，1，0）^T，α₂＝（－1，－1，1，0）^T

B．α₁＝（2，1，0，1）^T，α₂＝（－1，－1，1，0）^T

C．α₁＝（1，1，1，0）^T，α₂＝（－1，0，0，1）^T

D．α₁＝（2，1，0，1）^T，α₂＝（－2，－1，0，1）^T

【答案】C

【解析】简化齐次线性方程组为：

令

则α₁＝（1，1，1，0）^T。

令

则α₂＝（－1，0，0，1）^T。故基础解系为：α₁＝（1，1，1，0）^T，α₂＝（－1，0，0，1）^T。

15设λ₁＝6，λ₂＝λ₃＝3为三阶实对称矩阵A的特征值，属于λ₂＝λ₃＝3的特征向量为ξ₂＝（－1，0，1）^T，ξ₃＝（1，2，1）^T，则属于λ₁＝6的特征向量是（　　）。[2017年真题]

A．（1，－1，1）^T

B．（1，1，1）^T

C．（0，2，2）^T

D．（2，2，0）^T

【答案】A

【解析】矩阵A为实对称矩阵，由实对称矩阵的性质：不同特征值对应的特征向量相互正交，设属于λ₁＝6的特征向量为（x₁，x₂，x₃）^T，（－1，0，1）·（x₁，x₂，x₃）＝0，（1，2，1）·（x₁，x₂，x₃）＝0，解得

令x₃＝1，解得（x₁，x₂，x₃）^T＝（1，－1，1）^T。

16已知矩阵

与

相似，则λ等于（　　）。[2013年真题]

A．6

B．5

C．4

D．14

【答案】A

【解析】A与B相似，故A与B有相同的特征值，又因为特征值之和等于矩阵的迹，故1＋4＋5＝λ＋2＋2，故λ＝6。

17已知n阶可逆矩阵A的特征值为λ₀，则矩阵（2A）^－1的特征值是（　　）。[2012年真题]

A．2/λ₀

B．λ₀/2

C．1/（2λ₀）

D．2λ₀

【答案】C

【解析】由矩阵特征值的性质，2A的特征值为2λ₀，因此（2A）^－1的特征值为1/（2λ₀）。

18设A是3阶矩阵，P＝（α₁，α₂，α₃）是3阶可逆矩阵，且

若矩阵Q＝（α₂，α₁，α₃），则Q^－1AQ（　　）。[2011年真题]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】设可逆矩阵

计算可得：PB＝Q，Q^－1＝B^－1P^－1，其中，

因此

19要使得二次型f（x₁，x₂，x₃）＝x₁²＋2tx₁x₂＋x₂²－2x₁x₃＋2x₂x₃＋2x₃²为正定的，则t的取值条件是（　　）。[2012年真题]

A．－1＜t＜1

B．－1＜t＜0

C．t＞0

D．t＜－1

【答案】B

【解析】该方程对应的二次型的矩阵为：

若二次型为正定，其各阶顺序主子式均大于零，由二阶主子式大于零，有1－t²＞0，求得－1＜t＜1。三阶主子式也大于零，得－1＜t＜0。

20矩阵所对应的二次型的标准形是（　　）。[2018年真题]

A．f＝y₁²－3y₂²

B．f＝y₁²－2y₂²

C．f＝y₁²＋2y₂²

D．f＝y₁²－y₂²

【答案】C

【解析】二次型的矩阵

则对应的二次型展开式为：f（x₁，x₂，x₃）＝x₁²＋3x₂²－2x₁x₂＝（x₁－x₂）²＋2x₂²。令

则上式化简得f＝y₁²＋2y₂²。

21设A是3阶矩阵，矩阵A的第1行的2倍加到第2行，得矩阵B，则下列选项中成立的是（　　）。

A．B的第1行的－2倍加到第2行得A

B．B的第1列的－2倍加到第2列得A

C．B的第2行的－2倍加到第1行得A

D．B的第2列的－2倍加到第1列得A

【答案】A

【解析】设矩阵

则

22设有向量组α₁＝（1，－1，2，4），α₂＝（0，3，1，2），α₃＝（3，0，7，14），α₄＝（1，－2，2，0），α₅＝（2，1，5，10），则该向量组的极大线性无关组是（　　）。

A．α₁，α₂，α₃

B．α₁，α₂，α₄

C．α₁，α₄，α₅

D．α₁，α₂，α₄，α₅

【答案】B

【解析】对以α₁，α₂，α₃，α₄，α₅为列向量的矩阵施以初等行变换：

由于不同阶梯上对应向量组均线性无关，而含有同一个阶梯上的两个及两个以上的向量必线性相关，对比四个选项知，B项成立。

23设n维行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩阵A＝E－α^Tα，B＝E＋2α^Tα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于（　　）。

A．O

B．－E

C．E

D．E＋α^Tα

【答案】C

【解析】注意利用αα^T＝1/2来简化计算。AB＝（E－α^Tα）（E＋2α^Tα）＝E＋2α^Tα－α^Tα－2α^Tαα^Tα＝E＋α^Tα－2α^T（αα^T）α＝E＋α^Tα－2·（1/2）α^Tα＝E。

24设β₁，β₂是线性方程组Ax＝b的两个不同的解，α₁、α₂是导出组Ax＝0的基础解系，k₁、k₂是任意常数，则Ax＝b的通解是（　　）。

A．（β₁－β₂）/2＋k₁α₁＋k₂（α₁－α₂）

B．α₁＋k₁（β₁－β₂）＋k₂（α₁－α₂）

C．（β₁＋β₂）/2＋k₁α₁＋k₂（α₁－α₂）

D．（β₁＋β₂）/2＋k₁α₁＋k₂（β₁－β₂）

【答案】C

【解析】非齐次线性方程组Ax＝b的通解由导出组Ax＝0的基础解系与某一特解构成。A项，（β₁－β₂）/2、α₁－α₂都是导出组Ax＝0的一个解，该选项中不包含特解；B项，β₁－β₂是导出组Ax＝0的一个解，该选项也不包含特解；C项，（β₁＋β₂）/2是Ax＝b的特解，α₁－α₂与α₁线性无关，可作为导出组Ax＝0的基础解系；D项，包含特解，但β₁－β₂与α₁未必线性无关，不能作为导出组Ax＝0的基础解系。

25设A是m×n阶矩阵，Ax＝0是非齐次线性方程组Ax＝b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（　　）。

A．若Ax＝0仅有零解，则Ax＝b有唯一解

B．若Ax＝0有非零解，则Ax＝b有无穷多个解

C．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0仅有零解

D．若Ax＝b有无穷多个解，则Ax＝0有非零解

【答案】D

【解析】由解的判定定理知，对Ax＝b，若有r（A）＝r（A(＿)）＝r，则Ax＝b一定有解。进一步，若r＝n，则Ax＝b有唯一解；若r＜n，则Ax＝b有无穷多解。而对Ax＝0一定有解，且设r（A）＝r，则若r＝n，Ax＝0仅有零解；若r＜n，Ax＝0有非零解。因此，若Ax＝b有无穷多解，则必有r（A）＝r（A）＝r＜n，Ax＝0有非零解，所以D项成立。但反过来，若r（A）＝r＝n（或＜n），并不能推导出r（A）＝r（A(＿)），所以Ax＝b可能无解，更谈不上有唯一解或无穷多解。

26齐次线性方程组

的系数矩阵记为A。若存在三阶矩阵B≠0使得AB＝0，则（　　）。

A．λ＝－2且|B|＝0

B．λ＝－2且|B|≠0

C．λ＝1且|B|＝0

D．λ＝1且|B|≠0

【答案】C

【解析】因为AB＝0，所以r（A）＋r（B）≤3，又A≠0，B≠0，所以1≤r（A）＜3，1≤r（B）＜3，故|A|＝0，|B|＝0。由|A|＝0⇒（λ－1）²＝0⇒λ＝1。综上λ＝1且|B|＝0。

27设A是n阶矩阵，且A^k＝0（k为正整数），则（　　）。

A．A一定是零矩阵

B．A有不为0的特征值

C．A的特征值全为0

D．A有n个线性无关的特征向量

【答案】C

【解析】设λ是A的特征值，对应的特征向量为α，则有Aα＝λα，A^kα＝λ^kα＝0。由α≠0，有λ^k＝0，即λ＝0，故A的特征值全为0。

令

则A²＝0。若A有n个线性无关的特征向量，则A可对角化，即存在可逆矩阵P，使得P^－1AP＝0，则必有A＝0，与题意矛盾。

28已知二阶实对称矩阵A的一个特征向量为（2，－5）^T，并且A＜0，则以下选项中为A的特征向量的是（　　）。

A．

B．

C．，k₁≠0，k₂≠0

D．，k₁，k₂不同时为零

【答案】D

【解析】设A的特征值为λ₁，λ₂，因为A＜0，所以λ₁·λ₂＜0，即A有两个不同的特征值。又

且在D项中，k₁与k₂不同时为零。C项，k₁与k₂都可以等于0，如当k₁＝0，k₂≠0时，k₂（5，2）^T也是A的特征向量，所以排除。

29已知A为奇数阶实矩阵，设阶数为n，且对于任一n维列向量X，均有X^TAX＝0，则有（　　）。

A．|A|＞0

B．|A|＝0

C．|A|＜0

D．以上三种都有可能

【答案】B

【解析】由于对任一n维列向量X均有X^TAX＝0，两边转置，有X^TA^TX＝0，从而X^T（A＋A^T）X＝0。显然有（A＋A^T）^T＝A＋A^T，即A＋A^T为对称矩阵。从而对任一n维列向量X均有：X^T（A＋A^T）X＝0，A＋A^T为实对称矩阵，从而有A＋A^T＝0。即A^T＝－A，从而A为实反对称矩阵，且A为奇数阶，故|A|＝0。

30二次型

的秩为（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】令

则二次型矩阵

B为实对称矩阵，且二次型x^TAx＝x^TBx，故二次型的秩为r（B）＝1。

31已知矩阵

那么与A既相似又合同的矩阵是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】两个实对称矩阵如果相似必然合同，因为两个实对称矩阵相似，则它们有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，因此它们必然合同。但合同不能推出相似，故本题只要找出与A相似的矩阵即可，相似对角矩阵主对角线上元素为矩阵A的特征值，由特征值之和等于矩阵的迹，得：选项中对角矩阵主对角线上元素之和＝矩阵A的迹（即1＋1＋2＝4），观察知D项满足。