1.2　制品的弹性形变

橡胶的高弹性使制品具有承受较大弹性形变的能力，在实际应用中可产生线性弹性形变（小形变）和非线性弹性形变（大形变）。

1.2.1　线性弹性形变

制品由于载荷而产生形变，所以应力和应变是伴生的，二者间的关系很复杂。只有理想弹性体，应力与应变之间呈线性关系，理想弹性体是均匀的、各向同性的，其弹性模量为常数。橡胶制品在拉伸或者压缩形变小于30%、剪切应变小于75%的条件下，均可近似看作线性弹性体。

制品设计中常用模量、刚度和硬度表征其弹性形变能力的大小。

（1）模量

线性弹性体的模量是材料常数，表征了材料抗抵变形能力的大小，模量值越大，越不易变形，定义为：

其单位是N·m^-2（Pa）。图1-1显示了三种简单力学形变的弹性模量，分别称为拉伸模量（杨氏模量）E、剪切模量G和本体模量（压缩模量）K。

对于各向同性材料，上述三种模量之间的关系为：

E=2G（1+μ）=3M（1-2μ）　　（1-1）

式中，μ为泊松比，定义为拉伸时试样的横向收缩应变与纵向应变之比，μ值在0～0.5范围内变化。橡胶材料的μ=0.499，故E≈3G，M≈∞，即橡胶材料线性弹性形变时，不发生体积形变，具有不可压缩性。

由橡胶弹性分子理论，可推导出剪切模量为：

　　（1-2）

式中，ρ为试样密度；M_c为网链的数均分子量；k为玻尔兹曼常数；T为热力学温度。

可见，橡胶材料的模量有明显的物理意义，与单位体积试样中的网链数有关。模量与热力学温度成正比，与网链的分子量成反比，反映出网链热运动和硫化结构的特征。M_c值减小，表明交联密度增大，网链柔性下降，故模量增大，材料变硬，甚至失去高弹性能。一般情况下，M_c值在2000～100000。

（2）刚度

工程制品设计中常用到参数刚度（K），刚度（亦称回弹速率）定义为单位变形（位移）所需要的力，单位为N·m^-1，即：

K值与制品的应力应变状态和模量有关，因此可以把力、面积、厚度和材料模量等参数与K关联起来，进行设计计算。

拉伸时

　　（1-3）

剪切时

　　（1-4）

压缩时

　　（1-5）

式中，A为有效载荷面积，m²；h为未变形弹性体的厚度，m；E、G、E_c分别为杨氏模量、剪切模量和有效压缩模量，kPa。

实际应用中，压缩条件下制品的刚度计算比较复杂，如图1-2所示。制品在压力P作用下产生鼓形应变，表明垂直于轴线的各截面上的横向应变并不相同，由于橡胶的不可压缩性，在厚度方向的1/2处变形最大。有效压缩模量E_c亦称表观弹性模量，是材料特性和制品几何形状的函数，可由经验公式近似求算：

E_c=E（1+2ΦS²）　　（1-6）

式中，E为杨氏模量；Φ为压缩系数，是由经验决定的材料参数，见表1-1；S为形状因子，取决于制品的几何形状，表1-2列出了简单几何形状的S的计算公式。

实验证明，制品动态条件下的刚度是静态刚度的1～2.5倍。

以上所述适用于简单几何形状制品刚度值的近似估算。若要估算更复杂几何形状或非线性特性，须修正基本公式，借助有关文献手册或有限元分析法确定制品的刚度。

（3）硬度

硬度是橡胶制品的重要参数。ASTM将硬度定义为在规定的测试条件下橡胶材料的耐压陷性能。Gent弹性经典理论推导出硬度计针尖的刺入深度与模量间的理论关系式：

　　（1-7）

式中，F为针尖力，N；E为杨氏模量，MPa；p为刺入深度，mm；r为针尖半径，mm。

应指出，式（1-7）仅描述了硬度与杨氏模量间的近似关系，说明硬度与模量间有较好的相关性，但不宜简单地计算确定E值，会产生较大误差。图1-3实验数据反映出NR和NBR两种橡胶的弹性模量和硬度的关系。

橡胶材料的硬度分为邵尔硬度和国际橡胶硬度（IRHD）两种，在邵尔A和IRHD等级中规定：模量值为0时硬度为0，硬度值范围为0～100，模量无限大时硬度是100，表1-3是这两种硬度指标与对应的杨氏模量值。

橡胶工业中往往把制品对模量和刚度的要求，转化为材料的硬度指标。实际应用中，胶料的模量有一个很宽的数量范围，纯胶的G值为0.2～0.8MPa，加入补强剂可达到2～5MPa，同时会出现应力软化效应，如图1-4所示，这种不确定性对制品的刚度有重要的影响。因此设计制品时，应对硬度要求确定一个合理的误差范围，特别是高填充制品的应力软化效应较为明显。一般情况下，软质制品硬度值与设计硬度值之间的误差范围控制在10%以内；硬质制品的误差范围控制在25%以内。

1.2.2　非线性弹性形变

非线性弹性形变包括较大形变（有限形变）和大形变两种情况。图1-5是天然橡胶的应力-应变曲线，其中理论曲线为线性弹性。可以看出弹性形变较小时，拉伸比λ＜1.5，实验值与理论值相近，反映了交联橡胶小形变时应力-应变的线性关系；在λ=1.5～5时，理论值高于实验值，特别当λ＞5时实验值大大超过理论值，说明较大形变和大形变下，其应力-应变呈非线性关系。

（1）较大形变下的应力-应变

已知λ=1.5～5时，应力-应变呈非线性关系，理论上称为较大形变或有限形变。制品在较大形变下，仅仅用弹性模量已经不能描述其应力-应变关系，制品的形变受其结构和形状的限制较为明显。

目前工程上用唯象学理论描述较大形变下的应力-应变关系。假设物体的形变是均匀纯形变，是各向同性的，是不可压缩的，形变时体积不变。当物体形变时，外力对物体做功的能量储存于物体中作为弹性复原的能量，称为弹性应变能（即弹性储能），通常用应变能W（单位体积内储存的应变能）的函数表示，函数W是标量，与坐标系的选择无关，即W对坐标变换是不变量，可表示为应变不变量（I）的函数。据此，Rivlin提出包含两个不变量函数的交联橡胶的W函数式：

W=c₁（I₁-3）+c₂（I₂-3）　　（1-8）

式中，c₁和c₂是材料参数；；I₂=（λ₁λ₂）²+（λ₂λ₃）²+（λ₃λ₁）²。

对于简单拉伸，如图1-6所示，根据和dW=σdλ关系，推导出Rivlin方程：

σ=2（c₁+c₂λ^-1）（λ-λ^-2）　　（1-9）

如果把实验结果σ/2（λ-λ^-2）对λ^-1作图则得到截距为c₁、斜率为c₂的直线。实验证明，式（1-9）在一般情况下可近似描述较大形变下制品的应力-应变关系。

（2）大形变下的应力-应变

实验证实天然橡胶的伸张比λ＞5时，产生大形变。随λ值增大体积明显减小，呈现明显的可压缩性。同时，由于橡胶分子链的取向或结晶，呈现明显的各向异性，形变是不均匀的。因此，橡胶制品的大形变下的应力-应变关系是复杂的非线性弹性力学问题。目前研究工作集中在两个方面：一方面是对Rivlin公式进行扩展修正，提出含有高阶项的幂指数应变能函数；另一方面是研究其他应变能函数在橡胶制品中的应用。Yeoh根据实验提出了只含有应变不变量I₁的应变能函数：

　　（1-10）

式中，系数c₁₁、c₁₂、c₁₃没有明显的物理意义，需要根据实验确定。

总之，制品大形变下的非线性弹性形变尚无更成熟的数学模型进行应力-应变解析，不能为制品设计提供可靠的理论计算。