命题I.28

一条直线与两条直线相交，如果所形成的同位角相等，那么这两条直线是平行线；如果同旁内角互补，两条直线也平行。

设：直线ΕF与直线AB、CD相交，所形成的∠ΕGB等于∠GHD，或者在同旁的内角∠BGH、∠GHD互补。

求证：AB与CD平行。

因为：∠ΕGB等于∠GHD，同时∠ΕGB等于∠AGH（命题I.15）。∠AGH也等于∠GHD，且它们是内错角，所以：AB平行于CD（命题I.27）。

又，因为∠BGH、∠GHD的和等于两个直角，∠AGH、∠BGH的和也等于两个直角（命题I.13），∠AGH、∠BGH的和等于∠BGH、∠GHD的和。

从各角中减去∠BGH，于是：∠AGH等于∠GHD，且它们是内错角。

所以：AB平行于CD（命题I.27）。

所以：一条直线与两条直线相交，如果所形成的同位角相等，那么这两条直线是平行线；如果同旁内角互补，两条直线也平行。

证完

注解

本命题陈述的是前一命题的两个次要变量。

本命题应用在命题IV.7、VI.4中，在卷11中也有两次应用。