2.4　测量误差及数据处理

2.4.1　测量误差的基本概念

测量中，不管使用多么精确的计量器具，采用多么可靠的测量方法，进行多么仔细的测量，但在测量所获得的数值中不可避免地存在或大或小的测量误差，这种误差包括计量器具本身的误差和测量条件的误差。因此，在任何测量过程中都不能获得被测几何量的真值，而只能是在一定程度上近似于被测几何量真值。这种实际测量结果偏离真值的程度在数值上称为测量误差。测量误差可由绝对误差和相对误差来表示。

如果被测量的真值为L，被测量的测得值为l，则测量误差δ为：

δ=l-L　　（2-2）

式（2-2）表达的测量误差又称绝对误差，可用来评定大小相同的被测几何量的测量精确度。

在实际测量中，虽然真值不能得到，但往往要求分析或估算测量误差的范围，即求出真值L必落在测得值l附近的最小范围，称为测量极限误差δlim，它应满足

l-|δlim|≤L≤l+|δlim|　　（2-3）

由于l可大于或小于L，因此δ可能是正值或负值，即

L=l±|δ|　　（2-4）

绝对误差δ的大小反映了测得值l与真值L的偏离程度，决定了测量的精确度。|δ|愈小，l偏离L愈小，测量精度愈高；反之测量精度愈低。因此要权衡测量的精确度，只有从各个方面寻找有效措施来减少测量误差。

对同一尺寸测量，可以通过绝对误差δ的大小来判断测量精度的高低。但对不同尺寸测量，就要用测量误差的另一种表示方法，即相对误差的大小来判断测量精度。

相对误差δr是指测量的绝对误差δ与被测量真值L之比，通常用百分数表示，即：

从式（2-5）中可以看出，δr是无量纲的量。

绝对误差和相对误差都可用来判断计量器具的精确度，因此，测量误差是评定计量器具和测量方法在测量精确度方面的定量指标，每种计量器具都有这种指标。

在实际生产中，为了提高测量精度，就应该减小测量误差。要减小测量误差，就必须了解误差产生的原因、变化规律及误差的处理方法。

2.4.2　测量误差的来源

测量误差产生的原因主要有以下几个方面。

1.计量器具误差

计量器具误差是指计量器具本身在设计、制造、装配和使用过程中造成的各项误差。这些误差的综合反映可用计量器具的示值精度或不确定度来表示。

设计计量器具时，因结构不符合理论要求会产生误差，如用均匀刻度的刻度尺近似地代替理论上要求非均匀刻度的刻度尺所产生的误差；制造和装配计量器具时也会产生误差，如刻度尺的刻线不准确，分度盘安装偏心，计量器具调整不善所产生的误差。

使用计量器具的过程中也会产生误差，如计量器具中零件的变形、滑动表面的磨损，以及接触测量的机械测量力所产生的误差。

2.标准件误差

标准件误差是指作为标准的标准件本身的制造误差和检定误差。例如，量块的制造误差、线纹尺的刻线误差等，如果用量块作为标准件调整计量器的零位时，量块的误差会直接影响测得值。因此，为了保证一定的测量精度，必须选择足够高精度的标准器。

3.测量方法误差

测量方法误差是指由于测量方法不完善（包括计算公式不精确，测量方法不当，工件安装不合理）所引起的误差。例如，接触测量中测量力引起的计量器具和零件表面变形误差、间接测量中计算公式的不精确，测量过程中工件安装定位不合理等。

4.测量环境误差

测量环境误差是指测量时的环境条件不符合标准条件所引起的误差。测量的环境条件包括温度、湿度、气压、振动及灰尘等。其中温度对测量结果的影响最大。图样上标注的各种尺寸、公差和极限偏差都是以标准温度20℃为依据的。在测量时，当实际温度偏离标准温度时，温度变化引起的测量误差为：

δ=L[α1（t1-20）-α2（t2-20）]　　（2-6）

式中　δ——温度引起的测量误差；

L——被测尺寸（常用基本尺寸代替）；

α1，α2——计量器具和被测工件的线胀系数；

t1，t2——计量器具和被测工件的温度，单位为℃。

因此，高精度测量应在恒温、恒湿、无尘的条件下进行。

5.人为误差

人为误差是指测量人员的主观因素所引起的误差。例如，测量人员技术不熟练、视觉偏差、估读判断错误等引起的误差。

总之，产生误差的因素很多，有些误差是不可避免的，但有些是可以避免的。因此，测量者应对一些可能产生测量误差的原因进行分析，掌握其影响规律，设法消除或减小其对测量结果的影响，以保证测量精度。

2.4.3　测量误差分类

根据测量误差的性质、出现规律和特点，可将其分为三大类，即系统误差、随机误差和粗大误差。

1.系统误差

在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持恒定；或者当条件改变时，其值按某一确定的规律变化的误差称为系统误差。所谓规律，是指这种误差可以归结为某一个因素或某几个因素的函数，这种函数一般可用解析公式、曲线或数表来表示。系统误差按其出现的规律又可分为常值系统误差和变值系统误差。

（1）常值系统误差（即定值系统误差）。在相同测量条件下，多次测量同一量值时，其大小和方向均不变的误差。如基准件误差、仪器的原理误差和制造误差等。

（2）变值系统误差（即变动系统误差）。在相同测量条件下，多次测量同一量值时，其大小和方向按一定规律变化的误差。例如，温度均匀变化引起的测量误差（按线性变化），刻度盘偏心引起的角度测量误差（按正弦规律变化）等。

当测量条件一定时，系统误差就获得一个客观上的定值，采用多次测量的平均是不能减弱它的影响的。

从理论上讲，系统误差是可以消除的，特别是对常值系统误差，易于发现并能够消除或减小。但在实际测量中，系统误差不一定能完全消除，且消除系统误差也没有统一的方法，特别是对变值系统误差，只能针对具体情况采用不同的处理方法。对于那些未能消除的系统误差，在规定允许的测量误差时应予以考虑。有关系统误差的处理将在后面介绍。

2.随机误差（偶然误差）

在相同的测量条件下，多次测量同一量值时，其绝对值大小和符号均以不可预知的方式变化着的误差，称为随机误差。所谓随机，是指它的存在以及它的大小和方向不受人的支配与控制，即单次测量之间无确定的规律，不能用前一次的误差来推断后一次误差。但是对多次重复测量的随机误差，按概率与统计方法进行统计分析发现，它们是有一定规律的。随机误差主要是由一些随机因素，如计量器具的变形、测量力的不稳定、温度的波动、仪器中油膜的变化以及读数不正确等所引起的。

3.粗大误差

它是指由于测量不正确等原因引起的明显歪曲测量结果的误差或大大超出规定条件下预期的误差。粗大误差主要是由于测量操作方法不正确和测量人员的主观因素造成的。例如，工作上的疏忽、经验不足、过度疲劳、外界条件的大幅度突变（如冲击振动、电压突降）等引起的误差。如读错数值、记录错误、计量器具测头残缺等。一个正确的测量，不应包含粗大误差，所以在进行误差分析时，主要分析系统误差和随机误差，并应剔除粗大误差。

系统误差和随机误差也不是绝对的，它们在一定条件下可以互相转化。例如，线纹尺的刻度误差，对线纹尺制造厂来说是随机误差，但如果以某一根线纹尺为基准去成批地测量别的工件时，则该线纹尺的刻度误差成为被测零件的系统误差。

2.4.4　测量精度

精度和误差是相对的概念。误差是不准确、不精确的意思，即指测量结果偏离真值的程度。由于误差分系统误差和随机误差，因此笼统的精度概念已不能反映上述误差的差异，需要引出如下概念。

1.精密度

精密度表示测量结果中随机误差大小的程度，表明测量结果随机分散的特性，是指在多次测量中所得到的数值重复一致的程度，是用于评定随机误差的精度指标。它说明在一个测量过程中，在同一测量条件下进行多次重复测量时，所得结果彼此之间的相符合程度。随机误差愈小，则精密度愈高。

2.正确度

正确度表示测量结果中系统误差大小的程度，理论上可用修正值来消除。它是用于评定系统误差的精度指标。系统误差愈小，则正确度愈高。

3.精确度（准确度）

精确度表示测量结果中随机误差和系统误差综合影响的程度，说明测量结果与真值的一致程度。

一般来说，精密度高而正确度不一定高；反之亦然。但精确度高则精密度和正确度都高。如图2-5所示，以射击打靶为例，图2-5（a）表示随机误差小而系统误差大，即精密度高而正确度低；图2-5（b）表示系统误差小而随机误差大，即正确度高而精密度低；图2-5（c）表示随机误差和系统误差都小，即精确度高。

2.4.5　随机误差的特征及其评定

1.随机误差的分布及其特征

前面提到，随机误差就其整体来说是有其内在规律的。例如，在相同测量条件下对一个工件的某一部位用同一方法进行150次重复测量，测得150个不同的读数（这一系列的测得值，常称为测量列），然后找出其中的最大测得值和最小测得值，用最大值减去最小值得到测得值的分散范围为7.131～7.141mm，以每隔0.001mm为一组分成11组，统计出每一组出现的次数ni，计算每一组频率（次数ni与测量总次数N之比），如表2-5所示。

以测得值xi为横坐标，频率ni/N为纵坐标，将表2-5中的数据以每组的区间与相应的频率为边长画成直方图，即频率直方图，如图2-6（a）所示。如连接每个小方图的上部中点（每组区间的中值），得到一折线，称为实际分布曲线。由作图步骤可知，此图形的高矮受分组间隔Δx的影响，当间隔Δx大时，图形变高；而Δx小时，图形变矮。为了使图形不受Δx的影响，可用ni/（NΔx）代替纵坐标ni/N，此时图形高矮不再受Δx取值的影响，ni/（NΔx）即为概率论中所知的概率密度。如果将测量次数N无限增大（N→∞），而间隔Δx取得很小（Δx→0），且用误差δ来代替尺寸x，则得图2-6（b）所示光滑曲线，即随机误差的理论正态分布曲线。根据概率论原理，正态分布曲线方程为

式中　y——随机误差的概率分布密度；

δ——随机误差；

σ——标准偏差（后面介绍）；

e——自然对数的底（e=2.71828）。

从式（2-7）、图2-6可以看出，随机误差通常服从正态分布规律，具有如下四个基本特性：

1）单峰性。绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。

2）对称性。绝对值相等，符号相反的误差出现的次数大致相等。

3）有界性。在一定测量条件下，随机误差绝对值不会超过一定的界限。

4）抵偿性。对同一量在同一条件下进行重复测量，其随机误差的算术平均值随测量次数的增加而趋于零。

2.随机误差的评定指标

评定随机误差时，通常以正态分布曲线的两个参数，即算术平均值和标准偏差σ作为评定指标。

（1）算术平均值

对同一尺寸进行一系列等精度测量，得到l1、l2、…、lN一系列不同的测量值，则

由式（2-2）可知

δ1=l1-L

δ2=l2-L

…

δN=lN-L

各式相加得：　　

将等式两边同除以N得

由随机误差特性（抵偿性）可知，当N→∞时，即所以由此可知，当测量次数N增大时，算术平均值越趋近于真值，因此用算术平均值作为最后测量结果是可靠的、合理的。

算术平均值作为测量的最后结果，则测量中各测得值与算术平均值的代数差称为残余误差νi，即残余误差是由随机误差引申出来的。当测量次数N→∞时，有

（2）标准偏差σ

用算术平均值表示测量结果是可靠的，但它不能反映测得值的精度。例如，有两组测得值：

第一组：12.005，11.996，12.003，11.994，12.002；

第二组：11.90，12.10，11.95，12.05，12.00。

可以算出但从两组数据看出，第一组测得值比较集中，第二组比较分散，即说明第一组每一测得值比第二组的更接近于算术平均值（即真值），也就是第一组测得值精密度比第二组高，故通常用标准偏差σ反映测量精度的高低。

①测量列中任一测得值的标准偏差σ。根据误差理论，等精度测量列中单次测量（任一测量值）的标准偏差σ可用下式计算：

式中　N——测量次数；

δi——随机误差，即各次测得值与其真值之差。

由式（2-7）可知，概率密度y与随机误差δ及标准偏差σ有关，当δ=0时，y最大，即不同的σ对应不同形状的正态分布曲线，σ愈小，ymax值愈大，曲线愈陡，随机误差分布愈集中，即测得值分布愈集中，测量的精密度愈高。反之，σ愈大，曲线愈平坦，随机误差分布愈分散，即测得值分布愈分散，测量的精密度愈低。如图2-7所示，图中σ1<σ2<σ3，而y1max>y2max>y3max。因此σ可作为随机误差评定指标来评定测得值的精密度。

由概率论可知，随机误差正态分布曲线下所包含的面积等于其相应区间确定的概率，如果误差落在区间（-∞，+∞）之内，其概率为：

理论上，随机误差的分布范围应在正、负无穷大之间，但这在生产实践中是不切实际的。一般随机误差主要分布在δ=±3σ范围之内，因为也就是说δ落在±3σ范围内出现的概率为99.73％，超出3σ之外概率仅为1-0.9973=0.0027=0.27％，属于小概率事件，也就是说随机误差分布在±3σ之外的可能性很小，几乎不可能出现。所以可以把δ=±3σ看作随机误差的极限值，记作δlim=±3σ。很显然，δlim也是测量列中任一测得值的测量极限误差，所以极限误差是单次测量标准偏差的±3倍，或称为概率为99.73％的随机不确定度。随机误差绝对值不会超出的限度如图2-8所示。

②标准偏差的估计值σ′。由式（2-10）计算σ值必须具备三个条件：真值L必须已知；测量次数要无限次（N→∞）；无系统误差。但在实际测量中要达到这三个条件是不可能的。因为真值L无法得知，则δi=li-L也就无法得知；测量次数也是有限量。所以在实际测量中常采用残余误差νi代替δi来估算标准偏差。标准偏差的估算值σ′为：

③测量列算术平均值的标准偏差。标准偏差代表一组测量值中任一测得值的精密度。但在系列测量中，是以测得值的算术平均值作为测量结果的。因此，更重要的是要知道算术平均值的精密度，即算术平均值的标准偏差。

根据误差理论，测量列算术平均值的标准偏差与测量列中任一测得值的标准偏差σ存在如下关系：

其估计值 为：

式中　N——总的测量次数。

2.4.6　各类测量误差的处理

由于测量误差的存在，测量结果不可能绝对精确地等于真值，因此，应根据要求对测量结果进行处理和评定。

1.系统误差的处理

在实际测量中，系统误差对测量结果的影响往往是不容忽视的，而这种影响并非无规律可寻，因此揭示系统误差出现的规律性，并且消除其对测量结果的影响，是提高测量精度的有效措施。

（1）发现系统误差的方法

在测量过程中产生系统误差的因素很复杂，人们还难以查明所有的系统误差，也不可能全部消除系统误差的影响。发现系统误差必须根据具体测量过程和计量器具进行全面而仔细的分析，但这是一件困难而又复杂的工作，目前还没有能够适用于已发现的各种系统误差的普遍方法，下面只介绍适用于已发现的某些系统误差的两种常用方法。

①实验对比法。实验对比法是指改变产生系统误差的测量条件而进行不同测量条件下的测量，以发现系统误差，这种方法适用于发现定值系统误差。例如，量块按标称尺寸使用时，在被测几何量的测量结果中就存在由于量块的尺寸偏差而产生的大小和符号均不变的定值系统误差，重复测量也不能发现这一误差，只有用另一块等级更高的量块进行测量对比时才能发现它。

②残差观察法。残差观察法是指根据测量列的各个残差大小和符号的变化规律，直接由残差数据或残差曲线图形来判断有无系统误差，这种方法主要适用于发现大小和符号按一定规律变化的变值系统误差。根据测量先后次序，将测量列的残差作图，观察残差的变化规律。若各残差大体上正、负相间，又没有显著变化，如图2-9（a）所示，则不存在变值系统误差。若各残差按近似的线性规律递增或递减，如图2-9（b）所示，则可判断存在线性系统误差。若各残差的大小和符号有规律地周期变化，如图2-9（c）所示，则可判断存在周期性系统误差。

（2）消除系统误差的方法

①从产生误差根源上消除系统误差。这要求测量人员仔细分析测量过程中可能产生系统误差的各个环节，并在测量前就将系统误差从产生根源上加以消除。例如，为了防止测量过程中仪器示值零位的变动，测量开始和结束时都需检查示值零位。

②用修正法消除系统误差。这种方法是预先将计量器具的系统误差检定或计算出来，做出误差表或误差曲线，然后取与系统误差数值相同而符号相反的值作为修正值，将测得值加上相应的修正值，即可得到不包含系统误差的测量结果。

③用抵消法消除定值系统误差。这种方法要求在对称位置上分别测量一次，以使这两次测量中测得的数据出现的系统误差大小相等，符号相反，取这两次测量中数据的平均值作为测得值，即可消除定值系统误差。例如，在工具显微镜上测量螺纹螺距时，为了消除螺纹轴线与量仪工作台移动方向倾斜而引起的系统误差，可分别测取螺纹左、右牙侧的螺距，然后取它们的平均值作为螺距测得值。

④用半周期法消除周期性系统误差。对周期性系统误差，可以每相隔半个周期进行一次测量，以相邻两次测量数据的平均值作为一个测得值，即可有效消除周期性系统误差。

消除和减小系统误差的关键是找出误差产生的根源和规律。实际上，系统误差不可能完全消除，但一般来说，系统误差若能减小到使其影响相当于随机误差的程度，则可认为已被消除。

2.随机误差的处理

随机误差不可能被消除，它可应用概率与数理统计方法，通过对测量列的数据处理，评定其对测量结果的影响。

在具有随机误差的测量列中，常以算术平均值表征最可靠的测量结果，以标准偏差表征随机误差。其处理方法如下：

①计算测量列算术平均值。

②计算测量列中任一测得值的标准偏差的估计值σ′。

③计算测量列算术平均值的标准偏差的估计值

④确定测量结果。

多次测量结果可表示为

3.粗大误差的处理

粗大误差的数值（绝对值）相当大，在测量中应尽可能避免。如果粗大误差已经产生，则应根据判断粗大误差的准则予以剔除，通常用拉依达准则来判断。

拉依达准则又称3σ准则。该准则认为，当测量列服从正态分布时，残差落在±3σ外的概率仅有0.27％，即在连续370次测量中只有一次测量的残差超出±3σ，而实际上连续测量的次数绝不会超过370次，测量列中就不应该有超出±3σ的残差。因此，当测量列中出现绝对值大于3σ的残差时，即

|νi|>3σ　　（2-15）

则认为该残差对应的测得值含有粗大误差，应予以剔除。

测量次数小于或等于10时，不能使用拉依达准则。

2.4.7　测量不确定度

在国民经济、国防建设、科学技术各个领域，为了认识事物，无处不涉及测量，并且大量的存在，而测量数据是测量的产物，有的数据是为定量用的，有的则是供定性用的，它们都与不确定度密切相关。为明确量用数据的水平和准确性，其最后结果的表示必须给出不确定度，否则，所述结果的准确性和可靠性不明，数据便没有使用价值和意义。

有了不确定度的说明，便可知测量结果的水平如何。不确定度愈小，测量的水平愈高，数据的质量愈高，其使用价值也愈高；不确定度愈大，测量的水平愈低，数据质量愈低，其使用价值也愈低。

不确定度与计量科学技术密切相关，它用于说明基准标定、测试检定的水平，在ISO/IEC导则25“校准实验室和测试实验室能力的通用要求”中指明，实验室的每个证书或报告，均必须包含有关评定校准或测试结果不确定度的说明。在质量管理与质量保证中，对不确定度极为重视。ISO 9001规定：在检验、计量和试验设备使用时，应保证所用设备的测量不确定度已知，且测量能力满足要求。

1.相关术语定义

（1）不确定度

用以表征合理赋予被测量的值的分散性而在测量结果中含有的一个参数。测量不确定度与测量误差紧密相连但却有区别：在实际工作中，由于不知道被测量值的真值才去进行测量，误差的影响必然使测量结果出现一定程度上的不真实，故必须同时表达其准确程度。现要求用测量不确定度来描述，它是对测得值的分散性的估计，是用以表示测量结果分散区间的量值，但不是指具体的、确切的误差值，虽可以通过统计分析方法进行估计，却不能用于修正、补偿量值。过去，我们通过对随机误差的统计分析求出描述分散性的标准偏差后，以特定的概率用极限误差值来描述，实际上，大多就是今天所要描述的测量不确定度。

（2）标准不确定度

以标准差表示的测量结果不确定度。标准不确定度的评定方法有两种：A类评定和B类评定。由观测列统计分析所做的不确定度评定称为不确定度的A类评定，相应的标准不确定度称为统计不确定度分量或“A类不确定度分量”；由不同于观测列统计分析所做的不确定度评定，称为不确定度的B类评定，相应的标准不确定度称为非统计不确定度分量或“B类不确定度分量”。将标准不确定度区分为A类和B类的目的，是使标准不确定度可通过直接或间接的方法获得，两种方法只是计算方法的不同，并非本质上存在差异，两种方法均基于概率分布。

（3）合成标准不确定度

测量结果由其他量值得来时，按其他量的方差或协方差算出的测量结果的标准不确定度。如被测量y和其他量Xi有关系y=f（Xi），测量结果y的合成标准不确定度记为uc（y），也可以简写为uc或u（y），它等于各项分量标准不确定度，即u（Xi）平方之和的平方根。

（4）伸展不确定度

确定测量结果区间的量，合理赋予被测量值一个分布区间，希望绝大部分实际值含于该区间，又称范围不确定度，即被测量的值以某一可能性（概率）落入该区间中。伸展不确定度记为U，一般是该区间的半宽。

（5）包含因子

为获得伸展（范围）不确定度，对合成标准不确定度所乘的数值，又称范围因子，也就是说，它是伸展不确定度与合成标准不确定度的比值，包含因子记为k。

（6）自由度

求不确定度所用总和中的项数与总和的限制条件之差。自由度记为v。

（7）置信水准

伸展不确定度确定的测量结果区间包括合理赋予被测量值的分布的概率，又称包含概率。置信水准记为p。

2.测量不确定度的来源

①对被测量的定义不完善。

②被测量定义复现的不理想。

③被测量的样本不能代表定义的被测量。

④环境条件对测量过程的影响考虑不周，或环境条件的测量不完善。

⑤模拟仪表读数时人为的偏差。

⑥仪器分辨力或鉴别阀不够。

⑦赋予测量标准或标准物质的值不准。

⑧从外部来源获得并用以数据计算的常数及其他参数不准。

⑨测量方法和测量过程中引入的近似值及假设。

⑩在相同条件下重复观测中测得量值的变化。

2.4.8　等精度测量列的数据处理

等精度测量是指在测量条件（包括量仪、测量人员、测量方法及环境条件等）不变的情况下，对某一被测几何量进行的连续多次测量。在一般情况下，为了简化对测量数据的处理，大多采用等精度测量。

1.直接测量列的数据处理

为了从直接测量列中得到正确的测量结果，应按以下步骤进行数据处理。

首先判断测量列中是否存在系统误差。如果存在系统误差，则应采取措施（如在测得值中加入修正值）加以消除，然后计算测量列的算术平均值、残差和单次测量值的标准偏差。再判断是否存在粗大误差。若存在粗大误差，则应剔除含有粗大误差的测得值，并重新组成测量列，重复上述计算，直到将所有含有粗大误差的测得值剔除为止。之后，计算消除系统误差和剔除粗大误差后的测量列的算术平均值、它的标准偏差和测量极限误差。最后，在此基础上确定测量结果。

【例2-2】对同一量按等精度测量10次，按测量顺序将各测得值依次列于表2-6中，试求测量结果。

续表

解：

①判断定值系统误差。根据发现系统误差的有关方法判断，可认为测量列中不存在定值系统误差。

②求测量列算术平均值

③计算残差vi：

采用“残差观察法”，这些残差的符号大体上正负相同，因此可以认为测量列中不存在变值系统误差。

④测量列算术平均值的标准偏差为：

⑤用拉依达准则判断粗大误差，因测量列中没有出现绝对值大于3σ=3×2.11μm=6.33μm的残差，因此判断测量列中不存在粗大误差。

⑥算术平均值的标准偏差为：

⑦测量结果为：

即该工件的测量结果为30.048，其误差在±0.002范围内的可能性达99.73％。

2.间接测量列的数据处理

在有些情况下，由于某些被测对象的特点，不能进行直接测量，这时需要采用间接测量。间接测量是指通过测量与被测几何量有一定关系的其他几何量，按照已知的函数关系式计算出被测几何量的量值。因此间接测量的被测几何量是测量所得到的各个实测几何量的函数，而间接测量的测量误差则是各个实测几何量测量误差的函数，故称这种误差为函数误差。

（1）函数误差的基本计算公式

间接测量中，被测几何量通常是实测几何量的多元函数，它表示为：

y=f（x1，x2，…，xN）　　（2-16）

式中　y——间接测量求出的量值；

xi——各个直接测量值。

该函数的增量可近似地用函数的全微分来表示，即：

式中　dy——间接测量的被测几何量的测量误差；

dxi——各个直接测量的实测几何量的测量误差；

——函数对各独立量值的偏导数，即各个实测几何量的测量误差的传递系数。

式（2-17）即为函数误差的基本计算公式。

（2）函数系统误差的计算

如果各个实测几何量xi的测得值中存在着系统误差Δxi，那么被测几何量y也存在着系统误差Δy。以Δxi代替式（2-17）中的dxi，则可近似得到函数系统误差的计算式：

式（2-18）即为间接测量中系统误差的计算公式。

（3）函数随机误差的计算

由于各个实测几何量xi的测得值中存在着随机误差，因此被测几何量y也存在着随机误差。根据误差理论，函数的标准偏差σy与各个实测几何量的标准偏差的关系为：

如果各个实测几何量的随机误差均服从正态分布，则由式（2-19）可推导出函数的测量极限误差的计算公式：

式中　δlim（y）——被测几何量的测量极限误差；

——各个直接测量的实测几何量的测量极限误差。

（4）间接测量列的数据处理步骤

首先，确定间接测量的被测几何量与各个实际测量的拟实测几何量的函数关系及其表达式。然后把各个实测几何量的测得值代入该表达式，求出被测几何量值。之后，按式（2-18）和式（2-20）分别计算被测几何量的系统误差Δy和测量极限误差δlim（y）。最后，在此基础上确定测量结果ye：

ye=（y-Δy）±δlim（y）　　（2-21）