指数平滑法的初始化

对于指数平滑法，有一个初始化问题，也就是说，为了让它运作起来，我们得先做一些事，包括初始预测的选择和模型的“预热”。

先说初始预测。指数平滑法下，预测是基于上期实际值和上期预测值的。上期实际值我们有，但我们往往没有上期的预测值。我们有几种方式来设定初始预测：第一种方式是假定上期预测就等于上期实际值；第二种方式是用别的方法，比如移动平均法，计算一个预测值；还有一种方式，就是随便填个数字进去，比如0。

有趣的是，经过几次迭代后，你会发现，初始预测的影响很快就变得非常有限，直至衰减到没有。比如在图1-6中，三种预测都用简单指数平滑法，但初始预测各不相同：预测1的初始值采用上期实际值，预测2的初始值非常接近第1到5周的平均值，预测3的初始值就随便假设为0。你会发现，刚开始的时候，预测值的差异很大，但经过几次迭代后，三种情况下的预测值就基本一样了。而对于第22周的预测，也就是我们真正需要的预测，预测的初始值就根本没有任何影响。

为什么呢？这跟指数平滑法下历史数据的权重按照几何级数衰减有关。就拿图1-5中的例子来说，平滑系数α是0.4，参照图1-4中的公式，这意味着在第3周的预测中，初始预测的权重为(1-0.4)=0.6；到了第4周，初始预测的权重就成了(1-0.4)²=0.36；到了第5周，这一权重成为(1-0.4)³=0.216。依次类推，用不了多久，你会发现初始预测的影响就基本衰减到了0。

图1-6　指数平滑法的初始化和“预热”

但是，在刚开始的几期，初始预测的影响还是很显著的。这就是为什么指数平滑法要有个“预热”的过程，不管是这里谈的简单指数平滑法，还是后面要谈到的霍尔特指数平滑法和霍尔特–温特模型，都是如此。这跟厂房投产前的“试运行”类似：用一段历史数据来建立模型（“初始组”），等“预热”完成后，就进入正式的“测试组”，围绕测试组的数据统计预测的准确度，比较不同的平滑系数的优劣，选择最优的平滑系数α。

在一些预测方面的经典著述中，一般用最初的9个数据点作为指数平滑法的初始数据。如果是按照季度汇总，这大致就是2年的数据；如果按照周来汇总，大致就是2个月的数据。

初始化就如正式比赛前的热身，或者设备投入正式运营前的试车。在试车走合的过程中，我们可能调整某些参数，让设备处于更好的状态（优化）。对于预测模型来说，这种调整更多的是自动调整——好的预测模型往往有一定的“自适应性”，初始化就是指数平滑法的“自适应”过程。

对于测试组，顺便补充几句。指数平滑法之所以有“测试组”，是因为平滑系数α的择优问题。比如在图1-6的例子中，我们用第10到21周的数据作为测试组，共12个数据点，针对不同的平滑系数α，我们复盘这12期的预测，跟每期的实际值比较，得到每期的均方误差，然后求得12期的平均均方误差，作为平滑系数α择优的依据。

要注意，“预热”的数据不能用于测试模型准确度，“测试”的数据不能用于“预热”，避免了“既做裁判，又做球员”的情况，这有点儿像立法和执法要分离一样。

那么，测试组究竟该有多少数据点？我没有看到具体的研究。在我参考的一些书中，比如Makridakis等人的著作，经常看到用12期的数据。我想这有以下几个原因：其一，这些研究中，时间单元一般是月，12个月正好是完整的一年，覆盖到每个月，降低了潜在的季节性、周期性、趋势等影响；其二，十来个数据点，不算多，但也不算太少，在数理统计上有一定的可靠性。

一般来说，测试组的数据点越多越好，但在实践中，我们往往没有那么多的数据点。比如就图1-6的例子来说，产品是快消品，生命周期往往只有几个月，按周拆分的话，也没有多少个数据点。我在做分析的时候，会力求用13周或更多数据点来测试，这样我们就能覆盖一个完整的季度。当然，这只是个人实践，仅供参考。