第4章 二维水沙水质模型及离散求解
4.1 模型基本方程
4.1.1 平面二维浅水方程的导出
天然河道水流及其输移物质的运动一般都属于三维流动，数学模型最终应以三维形式模拟水动力过程，才能全面地反映其特征。但由于三维水流运动比较复杂，对许多工程问题的研究，则常常可以将浅水流动进行适当的简化，将运动要素沿水深方向平均，把三维问题转化为平面二维问题。
1.浅水流动的力学意义
符合以下条件的均匀流体的流动称为浅水流动：
（1）有自由表面。
（2）以重力为主要驱动力，以水流与固体边界之间及水流内部的摩阻力为主要耗散力，有时还存在水面气压场、风压力及地球自转柯氏力等的作用。
（3）水平流速沿垂线近似均匀分布，不必考虑实际存在的对数或指数等形式的垂线流速分布。
（4）水平运动尺度远大于垂直运动尺度，垂向流速及垂向加速度可忽略，从而水压力接近静压分布。
2.实际问题中的浅水流动
能作为浅水流动处理的有自由表面的实际水流，通常出现在下列情况：
（1）水深相对较浅。深浅不是根据水深的绝对值，而是根据水深h与波长L之比来区分。通常当h/L<0.4时称为浅水长波，可作为浅水处理。即使是水深很大的陆架边缘，因风场、气压场和潮汐波的波长甚大，仍常可作为浅水处理。风浪、涌浪及地转力产生的Ekman流场占相当比重的情况（波长小于水深，或水深大于Ekman深度），水平流速沿水深有显著差异，则不能作为浅水处理。
（2）水底坡度较缓。设底坡倾角为α，判断缓坡的条件是：α≈sinα≈tanα。此时，可以忽略底坡引起的垂直速度和垂直环流，也不必考虑垂直加速度及由此产生的动水压力。在计算中对沿底坡的流速和水平流速可以不加区分。当底坡较陡时（如陡槽、潜坝溢流）及水底突然升降引起的上升流和下切流等，垂直速度引起的动水压力将改变流动的性质，水压分布不同于静压分布。
（3）水面渐变且坡度较缓。即使满足上述两个条件，在特定情况下，由于受到天然或人工控制，有时水面比降仍很大，如小河突发性洪水，闸门突然启闭泄流，水跃、涌潮，及溃坝、决堤与滑坡引起的洪水等。水深沿程变化很大的急变流，水压力不能用静压分布来近似。当过渡段相对很短时（如水跃、涌潮），在数学上常概化为间断，过渡段以外的区域仍可作为浅水流动来处理。
（4）无明显垂直环流。对湖泊、水库等相对封闭水域的浅水流动，因这种风作用驱动下的浅水流动的流速垂直结构不符合对数或指数等分布形式，同样在河湾水流运动中也会出现横向环流，这些流动在严格意义上也不能作为浅水处理。可见，风生流、河流弯曲及滩槽交换等因素在垂直平面内产生次生环流，会给浅水方程模拟带来一定误差。
综上所述，浅水流动指在重力作用下密度均匀、具有自由表面、流动近似水平的长波传播现象。它是一种特殊形式的三维流动。
在笛卡尔坐标系下，在基本假定与近似条件下，对雷诺时均方程沿水深积分并取平均，略去运动要素参数沿垂直方向的变化小量，即得二维浅水方程。
平面二维浅水方程按照水深h放在动量方程偏导数里面和外面，可分为守恒形式和一般形式，以下对不同形式的模型方程进行介绍。
4.1.2 一般形式方程
（1）水流连续和运动方程：
式中：u和v分别为垂线平均流速在x和y方向上的分量；z和h为水位和水深；g为重力加速度；υt为水流紊动黏性系数；n为糙率；f为地球自转柯氏力系数；q为单位面积上水流的源汇强度；u0和v0分别为源汇流速沿x和y方向的分量。
（2）泥沙方程：
悬移质泥沙扩散方程：
推移质输沙率用长江科学院提出的推移质输沙经验曲线求得。输沙曲线的关系式为
由悬移质引起的河床变形方程为
由推移质引起的河床变形方程为
以上式中：S和S*分别为垂线平均含沙量和挟沙力；zb为河底高程；εs为泥沙紊动扩散系数；ω为泥沙沉速；γ′为床沙干容重；α为悬移质泥沙恢复饱和系数；Ud为近床面流速；qs为单宽推移质输沙率；qsx和qsy分别为沿x和y方向的单宽推移质输沙率。
起动流速公式采用张瑞谨公式：
式中：γs和γ分别为泥沙和水的密度；d为泥沙颗粒直径；Uc为泥沙起动流速。
（3）热量方程：
式中：ΔT为垂线平均温升；D为热扩散系数；k为水面综合散热系数；ρ为水密度；Cρ为水比热；T0为热源处温升。
（4）物质输运方程。物质输运（包括泥沙输运、温度扩散）的本质是浓度场问题，其基本方程如下：
式中：C为污染物浓度；E为扩散系数；K为污染物分解率。
4.1.3 守恒形式方程
（1）水流连续和运动方程：
（2）悬移质泥沙方程：
（3）热量方程：
（4）物质输运方程：
