1.4　声波的反射和折射

1.4.1　声阻抗的基本概念

正如电路中引入电阻抗一样，研究机械振动时，往往引入力阻抗的概念，研究声波传播时，也同样引入声阻抗这个概念。它定义为应力T（或声压p）对体积振速uA的比值，其中A为波束截面

研究声速截面积不变的情况下，使用声阻抗率的概念更为方便，它是声压对振速的比值：

一般说，阻抗率和阻抗都是复数。对于平面声波的情况，只考虑单向传播，则可推导出：

式中：α为衰减系数；K为波数，阻抗率Z为复数，其由介质特性所确定，称为介质的“特性阻抗”，用ZS表示。

对于无衰减的平面波情况，特性阻抗为实数：

此外，从能量观点来研究声波传播时，还往往采用声强I的概念，它是单位时间内通过单位面积传递的声能的平均值：

在前述无衰减平面声波的情况下，声强公式可简化为

式中：pm为声压的最大值。

1.4.2　声波的反射和折射

平面声波入射到密度和波速不同的两种介质分界面上时，根据反射定律和斯奈尔（Snell）折射定律，一部分能量的波反射回第一介质，且波的反射角等于入射角，另一部分能量的波进入第二介质，且入射角和折射角正弦之比等于两种介质的波速之比，这个比值称为第一介质对于第二介质的折射率。

1.垂直入射情况

声波传播途径如图1.8所示。

根据能量守恒定律，应有IA=I1A+I2A，垂直入射情况，截面A不变，故有I=I1+I2，即D+R=1。当两种介质的特性阻抗相差较远时，即Z1≫Z2（固体和气体的界面），或者Z1≪Z2（气体和固体界面），则有p1m≈pm、I1=I、I2=0、D≈0，即波几乎全部反射，没有折射。因此，当声波在固体和气体分界面时，声波能量几乎100%被反射；当两种介质的特性阻抗相近时，即Z2=Z1、R=0、D=1，声波能量几乎100%透射到第二种介质，入射波全部转变为透射波。图1.9为反射系数R、透射系数D与界面材料波阻抗的变化关系图。

对于三层介质中的垂直入射情况，如图1.10所示，入射波、反射波和折射波之间仍服从反射及折射定律。但由于各层介质中波的叠加，情况较为复杂，计算公式有了一定的变化。设介质Ⅰ和介质Ⅲ间夹有厚度为d的介质Ⅱ，它们的特征阻抗分别为Z1、Z2和Z3。当第Ⅰ介质中沿x正向行进的声波垂直入射到分界A时，一部分能量反射回介质Ⅰ，与入射波叠加，另一部分能量透过界面A进入介质Ⅱ，但到达分界B后，又发生反射和折射，故在介质Ⅱ中存在正负方向波的叠加，只有一部分声波能量透过界面B进入介质Ⅲ。

不考虑介质的吸收衰减，根据界面A和B的压强及振速的连续条件，可推导出第Ⅰ介质经由第Ⅱ介质至第Ⅲ介质的声压透射系数和声强透射系数：

式中：k2为通过第Ⅱ介质中的波数，k2=，d为距离；λ2为第Ⅱ介质中声波波长。

声波检测中往往要求声波能穿透一定厚度的透声层，使得声波能量几乎能全部透过这层介质，这样研究波的穿透特性才具有实际意义。

当第Ⅰ介质和第Ⅲ介质的特性阻抗不相等时，即Z1≠Z3，为使D1—3=1，往往采用k2d=（2n+1，即d=（2n+1，n为正整数。这就是说要使第Ⅱ介质的厚度相当于其波长的奇数倍。为减少介质的吸收衰减，则应是厚度d为最小，即有d=。代入式（1.45），有

令D1-3=1，则

从式（1.46）可以知道，当Z1≠Z3时，为减少第二层介质对波的吸收衰减和波的反射，其条件是第二层介质的特性阻抗Z2为第一层介质特性阻抗Z1和第三层介质特性阻抗Z3的几何平均值，而其厚度为波长。当Z1=Z3，则式（1.45）可变为

为使透射系数D=1，可采取三种方法。

第一种方法：令三层介质的特性阻抗相等，即z1=z2=z3。

第二种方法：令sink2d=0，cosk2d=1，则有k2d=nπ，d=，为减少第二层介质的吸收衰减，其厚度为最小，则d=，称“半波透声层”。

第三种方法：令k2d≤0，则k2d≪1。这就要求d≪λ2，亦即用尽可能使d→0，所以叫“薄膜透声层”。

2.斜入射的情况

对于两种半无限平面流体分界面的情况，入射波以入射角为θ角斜入到分界面上，将发生反射和折射，如图1.11所示，反射波将按反射角θ1的方向返回第一介质，折射波将按折射角θ2的方向在第二介质中传播，并满足斯奈尔定律，有

当上述公式中θ=0°时，则上述公式简化为垂直入射情况相应的公式。

当c2＞c1时，入射角有一临界角θc，即当θ=θc时，折射角θ2=90°，此时有

当入射角大于临界角，即θ＞θc时，在界面上只产生反射波，而无折射波，称为“全反射”。

对于两种半无限平面固体分界面的情况，入射波以入射角为θ角斜入到分界面上，除产生与入射波同类型的反射波和折射波外，还发生波的转换。设界面为XOY，即Y平面，如图1.12所示。

在纵波斜入射的情况下，一般说来有两种折射波，两种反射波。为便于区分，用下标P、S分别代表P波和S波，下标1和下标2分别代表第一层介质和第二层介质。利用分界面的应力和振速满足连续条件，则可推导出下述三种情况下折射波、反射波和入射波之间的关系：

第一种情况：当入射波为P波根据界面的应力与振速连续条件、波的反射定律和折射定律，可得到入射波、折射波和反射波传播方向的关系：

在任何介质中，纵波速度均大于横波速度，即cP＞cS。因此，当c1P＞c2P时，除θ1P=θP外，其余θ1S、θ2P和θ2S均小于θP。表明：纵波斜入射到两介质的分界面时，将产生反射纵波、反射横波以及折射纵波和折射横波。

当θP＞θcP（第一临界角）时，无折射纵波。

当θP＞θcS（第二临界角），无折射横波。

第二种情况：入射波为横波，其振动方向垂直于xoy平面，沿Y轴方向的法向应力和振速满足连续条件，则只产生反射横波和折射横波，不产生转换纵波。

第三种情况：入射波为横波，振动方向在xoy平面内法向方向和切向方向均满足应力和振速的连续条件，波的传播方向关系：

从式（1.48）可以看出，反射横波总是存在的，但在下面三种临界角情况下，不会产生反射纵波、折射纵波，甚至不会产生折射横波

当横波入射角大于反射纵波临界角，即θS＞θc1，无反射纵波。

当横波入射角大于折射纵波临界角，即θS＞θcP，无折射纵波。

当横波入射角大于折射横波临界角，即θS＞θcS，无折射纵波和折射横波。

对于固体和流体的分界面，由于横波不能在流体中传播，故当第一层介质为流体时，在界面处无反射横波，只有反射纵波；当第二层介质流体时，则界面处可能产生反射横波、反射纵波和折射纵波。