3．3　主应变、应变偏量及其不变量

3．3．1　主应变

式（3．2．3）表明，物体内一点的应变分量将随着坐标系的旋转而改变，研究表明，对于确定的一点，总能找到这样一个坐标系，在这个坐标系下，只有正应变分量，而所有的切应变分量为0。也就是说，过该点总能找到3个互相垂直的方向，使沿这3个方向的微分线段在物体变形后只是改变了长度，相互之间的夹角仍保持为直角。我们把具有这种性质的方向称为应变主方向，可以用矢量n表示，应变主方向上的微线段的伸长率，称为主应变，用εn表示。本节来求解主应变和主方向。

如图3．3．1所示，假定应变主方向上的微线段矢量Sn，该矢量在变形过程中只有长度的变化，没有转动，长度的变化量为δSn＝εnSn。同理，Sn在各坐标轴上的分量Sx、Sy、Sz也只有长度的变化，且满足

即

利用式（3．1．17），得

即

若以Sj为未知量，上式存在非零解的条件是其系数行列式为0，即

和主应力的求解类似，将上式展开后得

I′

1、I′2、I′3分别称为应变张量的第一、第二、第三不变量，其公式形式和主应力求解时的I1、I2、I3类似，只需要把其中的应力换成应变即可

由式（3．3．6）可以求出3个实根，即为主应变ε1、ε2、ε3。与最大切应力的求解方法类似，也可以由主应变确定切应变的3个极值：

将主应变ε1、ε2、ε3依次代入式（3．3．4），可以求得对应的3个应变主方向。还可以进一步证明，这3个主方向是相互正交的。

3．3．2　应变偏量及其不变量

与应力一样，应变也可以分解为球张量和偏张量，即

其中应变球张量为εmδij，εm称为平均正应变：

应变偏张量为eij：

与应变张量类似，应变偏张量也可求解对应的主应变en，其求解方程为

若以Sj为未知量，上式存在非零解的条件是其系数行列式为0，即

和主应力的求解类似，将上式展开后得

其中J′1、J′2、J′3分别为应变偏量的第一、第二、第三不变量，其公式形式和应力偏量的不变量J1、J2、J3类似，只需要把其中的应力偏量换成应变偏量即可。

当用应变张量或应变偏张量的主值表示时，则有

3．3．3　八面体应变

和八面体应力类似，同样也有八面体应变，其定义为