第三节　拱坝应力计算

一、概述

拱坝应力计算的目的是：①为确定或进一步修改拱坝布置及轮廓尺寸提供依据；②验算坝体强度和为坝肩岩体稳定计算提供依据；③为坝内孔口布置及孔口边缘配筋提供依据等。

拱坝的应力分析有理论计算、结构模型试验和原体观测3种。理论计算方法主要有纯拱法、拱梁分载法、有限元法和壳体理论法。由于拱坝结构复杂，进行严格的理论计算是困难的，上述方法分析拱坝应力时，都作了一些必要的假定和简化，都是近似计算方法。

（一）纯拱法

纯拱法假定拱坝由若干层水平拱圈叠合而成，水平荷载全部由拱圈承担，自重直接传至基岩不由拱圈承担。将每层拱圈作为两端固定的弹性拱计算。同时，计入地基变形和温度变化对应力的影响，当拱圈厚度较大时，按厚拱计算，并应计入拱圈曲率对应力的影响。该法计算简便，概念明确，并已有现成图表可用来求内力或应力，对狭窄河谷中的薄拱坝是一种简单实用的计算方法，可单独用于中小工程的可行性研究阶段，同时也是拱梁分载法的重要组成部分。但由于该法未考虑拱圈之间的相互作用，算出的应力一般偏大，尤其对厚拱坝误差更大。

（二）拱梁分载法

拱梁分载法（也称试载法），是将拱坝视为由若干水平拱圈和竖直悬臂梁组成的空间结构，荷载由拱系和梁系共同承担，拱梁分配荷载的比例，由拱系和梁系在交点处的变位一致条件来确定。荷载分配后，梁按静定的悬臂梁计算应力，拱的应力按纯拱法计算。手算时，须先将总荷载试分配给拱系和梁系承担，然后分别计算拱、梁变位。第一次分配的荷载不一定恰好使拱梁交点的变位一致，根据第一次变位计算结果，再调整荷载分配，继续试算，直到各交点位移接近一致为止。现在可利用计算机求解交点处变位一致的代数方程组来求解拱系和梁系的荷载分配，避免了繁琐的试加载和反复调整，试载法即变成了拱梁分载法。该法是把复杂的壳体结构简化为结构力学的杆系计算，概念清晰，是目前广泛应用的一种坝体应力分析方法。为满足计算精度，对大型工程的高拱坝，一般采用7拱13梁，即沿坝高取7层1m高水平拱圈和沿拱圈半径方向切取中面弧长为1m的13根悬臂梁构成拱系和梁系，确定二者中面交点处的位移。拱坝内一点的位移分量有6项：水平径向位移Δr、水平切向位移ΔS、竖向位移ΔZ和角位移绕竖向Z轴θZ、绕水平切向轴θS、绕水平径向轴θr。一般由坝体压缩引起的位移ΔZ及θr数值较小，可忽略，只考虑其余4项位移协调一致。拱梁法计算量大，为简化计算，对中低坝的可行性研究阶段或狭窄河谷中对称或接近对称的拱坝初步设计时，工程中也可采用一种简化了的拱梁分载法，即拱冠梁法。拱冠梁法是以拱冠处的一根悬臂梁为代表，与若干层1m厚的水平拱圈作为计算单元进行荷载分配，交点位移只考虑径向位移Δr，通过建立拱梁交点处的径向位移一致条件来确定拱梁径向荷载分配比例。该法一般只适用于对称或接近对称的拱坝，而且只能分析顺河流向的水压力等对称荷载的作用。

（三）有限单元法

有限单元法是将拱坝及其基础离散成有限个单元，这些单元在结点处互相连接起来构成一个离散的系统，通过建立单元的位移模式，推导单元刚度矩阵，得到结点位移与结点力的关系，再组集成整体刚度矩阵求解，求出结点位移，进而可求出单元各结点应力和应变值。该法尤其适用于求解坝体结构复杂、边界和地质条件复杂的情况，也可求解地震对坝体、地基、库水相互作用的动力反应，是拱坝应力分析的一种有效方法。

（四）壳体理论法

壳体理论法一般是将坝体用网格划分成若干块壳体结构，通过求解壳体方程计算坝体应力和位移。但由于拱坝体形与边界条件的复杂性，使其应用受到很大限制。

目前，拱坝应力分析是以拱梁分载法或有限元法的计算成果作为衡量强度安全的主要指标，对于1、2级拱坝和高拱坝或坝内有较大孔口以及地质条件复杂的拱坝，《混凝土拱坝设计规范》（SL 282—2003）要求，除用拱梁分载法计算外，还应采用有限单元法计算，必要时应进行结构模型试验加以验证。

二、拱坝的荷载及其荷载组合

（一）荷载

作用在拱坝上的荷载基本上与重力坝相同，有静水压力、动水压力、温度荷载、自重、扬压力、泥沙压力、浪压力、冰压力、地震荷载等。但由于拱坝的结构特点，上述荷载对坝体应力的影响与重力坝不尽相同。

（1）静水压力、泥沙压力、浪压力。静水压力是坝体最主要的荷载，它与泥沙压力、浪压力均沿拱坝径向作用，在拱梁分载法中由拱梁共同承担。

（2）自重。砌石拱坝施工时常不分缝，全断面上升，这时自重由拱梁共同承担，在拱梁分载法中通过梁的变位产生对拱的影响；对于分块浇筑，冷却后再灌浆封拱成整体的拱坝，认为封拱前自重变位和应力已经形成，自重全部由悬臂梁承担，并不影响水平径向荷载的分配，单独计算自重应力。施工期封拱前应校核自重在梁中的应力。

（3）水重。水重对拱梁均有影响，在拱梁分载法中，一般假定由梁承担，通过梁的变位考虑对拱的影响。

（4）扬压力。在拱坝应力分析中，中厚拱坝和厚拱坝应计入扬压力作用，对薄拱坝一般可不计；扬压力对拱座及坝肩岩体稳定影响较大，必须计入其作用。

（5）温度荷载。温度荷载是作用在拱坝上的一项主要荷载，尤其对于薄拱坝，据实测资料分析，在由水压力和温度变化共同引起的坝体径向位移中，后者一般占1/3～1/2，在靠近坝顶部位尤其显著。现对混凝土拱坝的温度荷载计算方法介绍如下：

混凝土拱坝一般采用分块施工，待坝体充分冷却趋于相对稳定温度时，再进行灌浆封拱形成整体。拱坝一般选在年平均气温或略低于年平均气温时封拱。封拱时坝体具有的温度，称封拱温度，它是拱坝温度荷载计算的基准。拱封后运行期间，坝体温度将随气温、水温周期性的变化而相对基准温度产生变化。温度变化时，由于坝体不能自由变形而在坝内产生温度应力，该温度变化与荷载具有相同的作用效应，故称为温度荷载。若某时拱坝温度高于封拱温度则称温升，低于封拱温度则称温降。温升时，坝体膨胀，拱圈伸长并凸向上游位移，由此在拱内产生的弯矩、剪力和变位矢量的指向与库水压力作用下所产生的相反，但轴力的指向相同，因而对坝体应力有利而对坝肩稳定不利；温降时，拱圈收缩并向下游位移，由此产生的弯矩、剪力和变位矢量的指向与库水压力所产生的相同，但轴力的指向相反，因而对坝体应力不利，对坝肩稳定有利。因此，拱坝设计中，水压力与温降组合是核算坝体应力的不利情况；水压力与温升组合是核算坝肩稳定的不利情况。

要确定拱坝的温度荷载，需求出坝体温度随时间和空间的变化。

从空间上来看，由于拱坝断面一般较薄，温度变化主要是沿坝厚方向的。又由于空气、库水、混凝土3种介质的热传导性能不同，坝体温度变化沿坝厚呈曲线分布，如图3-11（a）所示。

图中oo直线为基准温度，ab曲线为封拱后某一时刻的温度分布，二者之差即为坝体承受的温度荷载。为分析方便，可将它分解为3部分：

1）沿截面厚度的平均温度变化tm，见图3-11（b）。它对坝体的挠曲、拱推力及对拱和悬臂梁的弯曲影响很大，是温度荷载的主要组成部分。

2）等效线性温差td，见图3-11（c）。拱坝挡水后，由于库内水温变幅小于下游气温变幅，故沿坝厚会出现上下游方向的温度梯度。为分析方便，设温度梯度为直线变化，用等效线性温差td来计算。td的涵义是，将沿坝厚曲线分布的温度变化以线性分布等效代换后，上下游面的温差值为td。等效代换的原则是，二者面积相等、二者对截面中心轴的面积矩相等。td对拱坝产生纯弯曲，对应力影响较大，尤其对薄拱坝更为显著。但对中小型工程一般不考虑。

3）非线性温差tn，见图3-11（d）。tn是从坝体温度变化曲线上扣去tm和td后的剩余部分。它是引起坝体表面裂缝的重要原因，但因其引起的应力有自身平衡性质，坝面裂缝一出现，温度应力立即消失，对坝内位移和应力影响不大，一般可忽略。以下只讨论tm、td的计算。

从时间上来看，tm、td随季节周期性变化而变化，分别可视为两部分叠加：①坝体的年内平均温度（分别表示为tm1、td1）与坝基准温度（分别表示为tmo、tdo）之差；②自坝体年平均温度算起的坝体年内温度变化或称坝体温度年变幅（分别表示为tm2、td2）。用公式表示即

初步设计时，式（3-11）中的tm1、td1、tm2、td2可按如下计算：

式中的txim为下游坝面年平均温度，等于年平均气温加日照影响，尾水位以下等于年平均尾水温度；tsm为上游坝面年平均温度，水上部分为年平均气温加日照影响，水下部分，在初步设计中，可按下式计算：

库水位以上：

库水位以下：

、ρ3、ξ按下列公式计算：

当T≥10m时

当T＜10m时

一般地区

寒冷地区

式中的t1、t7分别为1月、7月的平均气温，℃；Δb＝1～2℃。式（3-14）、式（3-15）中，夏季取＋号，冬季取-号。

拱坝设计时，温度荷载tm、td要选择一个对坝体应力和坝肩稳定最不利的情况。对于一般厚度的拱坝，温度应力的极值比气温极值一般滞后1～1.5个月，通常气温以1月中旬最低，7月中旬最高，则温度应力的极大值和坝肩岩体稳定的最不利时间大致发生在2月中下旬和8月中下旬，其分别是tm、td组合最小（最大温降）和组合最大（最大温升）时。

对于中小型拱坝，也可视情况采用下列经验公式估算tm：

混凝土拱坝

上述经验公式由于没有考虑坝址气温和水温变化影响，所得结果，坝体上部拱圈偏小，中下部拱圈偏大；由于未能计入等效线性温差td影响，所以用上述经验公式计算温度荷载时，拱冠处的压应力常需增加0.5～1MPa，留有一定安全裕度。

（6）地震荷载。作用于拱坝上的地震荷载，主要包括：地震惯性力和地震动水压力。《规范》（SL 203—97）规定，拱坝强度分析应以静、动力拱梁分载法为基本分析方法。对结构复杂或地基条件复杂，工程抗震设防类别为甲类的拱坝，宜补充有限元法动力分析。对工程抗震设防类别为乙、丙类，设计烈度低于8度且坝高H≤70m的拱坝，可采用拟静力法。

一般情况下，拱坝可只考虑水平向地震影响。

1）水平地震惯性力。采用拟静力法计算时，各层拱圈上质点i的水平向地震惯性力FiH按下式计算：

其余符号意义同于式（2-14）。FiH沿拱圈径向作用，其指向应按不利组合情况确定，例如满库时，指向下游，空库时指向上游。

2）地震动水压力。在水平地震作用下，水深h处的地震动水压强pw按式计算：

其余符号意义同于式（2-16）。

3）地震动土压力。拱坝上的地震主动动土压力计算，仍采用式（2-18）计算。

（二）荷载组合

拱坝的荷载组合，也分为基本组合和特殊组合两类，其中温度荷载为基本荷载。

1.基本组合

（1）、（2）水库正常蓄水位＋设计正常温降（或温升）情况。计算荷载有：自重、正常蓄水位及相应尾水位下的静水压力、扬压力、泥沙压力、浪压力、冰压力和相应温度荷载［组合（1）为温降荷载，组合（2）为温升荷载］。

（3）水库设计洪水位＋设计正常温升情况。计算荷载有：自重、设计洪水位及相应尾水位下的静水压力、扬压力、泥沙压力、浪压力、冰压力和相应温度荷载。

（4）水库死水位（或运行最低水位）＋设计正常温升情况。计算荷载有：自重、水库死水位（或运行最低水位）下的静水压力、泥沙压力、浪压力、扬压力（或不计）和相应温度荷载。

（5）其他常遇不利荷载组合。

2.特殊组合

（1）校核洪水位＋设计正常温升情况。计算荷载有：自重、校核洪水位及相应尾水位下的静水压力、扬压力、泥沙压力、浪压力、冰压力和相应温度荷载。

（2）、（3）正常蓄水位＋设计正常温降（或温升）＋地震情况。计算荷载有：基本组合工况（1）［或（2）］中的荷载，加相应地震烈度的地震荷载。

（4）水库常遇低水位＋设计正常温升＋地震情况。计算荷载有：自重、水库常遇低水位下的静水压力、扬压力、泥沙压力、浪压力、相应温度荷载加地震荷载。

（5）施工期的各种不利工况。

设计正常温降与设计正常温升，是根据坝址附近历年的气温资料用每年的最低月平均气温（一般为1月或2月）及最高月平均气温（一般为7月或8月），分别按自大至小排队，取保证率为50%的最低月平均气温作为设计最低气温［即式（3-22）中的t1］，取保证率为50%的最高月平均气温作为设计最高气温［即式（3-22）中的t7］，按式（3-14）及式（3-15）算出的坝体某高程处的平均温度变化tm2及上下游方向的等效线性温差td2之和。

拱坝设计时，可根据工程实际情况选择控制性的荷载组合进行计算。初选方案时，可用基本组合作为控制性荷载组合。

三、地基位移计算

由于拱坝是超静定结构，地基位移对坝体应力影响较大，设计中必须加以考虑。目前国内外多采用挪威伏格特在1925年提出的近似计算方法。有时也可采用更为近似的通过延长坝高来考虑地基位移影响的方法。

（一）伏格特法的基本假定和地基位移系数

1.基本假定

（1）地基位移与地基表面形状无关，因而对不规则的坝基面，可将其沿拱弧线展开摊平并可用一个与其长宽比相似、面积相等的当量矩形a×b来代替，且假定a×b为均匀等向半无限弹性体的表面，见图3-12。

（2）不考虑地基各点处的作用力不等及位移互有影响因素，因而若在坝基任意位置取一单元面积T×1，其受载后的位移与相同荷载作用在矩形面积上产生的平均位移相等。

（3）由于库水压力产生的地基位移对拱坝应力分布的影响较小，故不计库水压力对地基位移的影响。

2.地基位移系数

根据上述假定，伏格特导出了半无限弹性体地基在任意位置处的单元面积T×1上，作用均匀单位力（弯矩、剪力、垂直压力、扭矩）下的地基位移，称为地基位移系数，计算式如下：

K1～K5是一组无量纲数，称地基常数，是当量矩形边长比和基岩泊松比μ的函数，可由图3-14查得。对V形河谷，可按查得K1、K3和K5。计算β′、δ′时，因左右半坝体相互影响小，宜按查图得出K2和K4。由于与γ′计算公式相同，只是方向垂直，确定时，须将地基面图形转动90°，故按查图得出K3即为。对U形河谷，有时也可将河床部分与两岸分别化为不同值的当量矩形，用其各自的值查图3-14得出K1～K5。

地基位移系数求出后，应用虎克定律，不难求得实际荷载作用下的地基位移。

（二）拱座和梁基位移

用式（3-29）计算地基位移时，作用于基岩面上的力和力矩必须是垂直或平行于基岩面的，因此该式适用于两岸岩壁铅直的U形河谷拱坝。对V形或梯形河谷拱坝，两岸岩壁为倾斜面，这时拱端截面（沿径向的铅直平面）和悬臂梁梁底水平截面与坝基面均为斜交，见图3-15，因此拱端力系与梁底力系并非与基岩面垂直或平行。计算地基位移影响时，必须先将拱端或梁底力系通过投影转换成与倾斜地基面成垂直或平行的分量，利用式（3-29）求得相应地基位移后，再通过投影关系转换成与拱端径向平面和梁底水平面垂直或平行的位移，才是所求拱座与梁基位移。

1.拱座位移计算

忽略次要因素后，设1m高拱圈传来的拱端力系由切向轴力Ha、径向剪力Va和绕铅直轴Z的弯矩MZ构成，其相应方向的位移为ΔS、Δr及θZ，力系与位移的正方向如图3-15（c）所示。设基岩面与铅直轴Z的夹角为ψ，现以θZ为例简述其计算与转换步骤：①将拱端弯矩MZ矢量分解为与基岩面平行和垂直的分量MZcosψ及MZsinψ，并把它们分布在长度为1/cosψ的斜面上，得到沿基岩面的匀布弯矩MZcos2ψ及匀布扭矩MZsinψcosψ。前者引起基岩面绕Z′轴的转动，转动角为α′MZcos2ψ；后者引起基岩面在其所在平面内扭转，扭转角为δ′MZsinψcosψ。②对于拱端径向剪力Va，由于它平行于基岩面，仅需将其平行投影到基岩面上，划成匀布力Vacosψ，它引起的基岩面绕Z′轴的转动角为γ″Vacosψ。Ha不引起基岩面转动。③将上述3个基岩面转角分别沿与Z轴平行和垂直的方向分解，其中平行于Z轴的分量代数和即为拱端截面绕Z轴的转角位移，即

同理可求出Δr和ΔS，于是可得拱座3个主要变位的计算公式如下：

α、β、γ、α2称为拱座位移系数，按下式给出：

式（3-31）中的＋、-号适用于左拱座；对于右拱座，θZ和ΔS应取相反符号。

2.梁基位移计算

沿拱圈中面取1m宽悬臂梁，其受载后传给梁底的主要作用力有轴力Hb、径向剪力Vb及绕切向轴S的弯矩MS，由之梁底产生的主要变位有竖向位移ΔZ、径向位移Δr和绕S轴的转角θS。力系与位移的正向，见图3-15（b）。同上方法可得梁基（梁底水平截面）3个主要位移计算公式如下：

式中α、β、γ、α2的仍可用式（3-32）计算，但应以（90°-ψ）代替式中的ψ，称之为梁基位移系数。式（3-33）中的代数符号均适于左右坝段的悬臂梁。

在方案选择阶段和中小型工程中，为简化计算，常假设河谷两岸铅直，岸坡角ψ＝0。当量矩形的边长比b/a≈4，坝体材料与基岩的弹性模量相等，即Ef＝Eh＝E（Eh为坝体混凝土的弹性模量），基岩的泊松比μ＝0.2，并忽略基岩变位的次要因素，即α2＝0时，由式（3-31）与式（3-33）可得拱座与梁基位移近似计算公式如下：

上述二式也称为简约法公式。

须指出，对于复杂的坝基地质条件，当需要考虑岩性分布的不均匀性影响时，可采用三维有限元法确定地基位移系数来代替伏格特地基位移系数。

四、纯拱法计算坝体应力

（一）纯拱法基本公式

用纯拱法计算坝体应力时，一般沿坝高截取5～7层1m高度的水平拱圈作为计算单元。拱圈为两端固定的弹性拱，同时计入拱端基岩位移。

在拱圈计算中，由于考虑了地基变形，弹性中心不易求得，故通常把切口选在拱冠截面，超静定内力Mo、Ho和Vo作用在切口截面中心，如图3-16（b）所示。拱圈外荷载、静定力、内力及拱圈位移的正向，见图3-16（a）。

Mo、Ho和Vo可利用切口处变形连续条件求出，为分析方便，设Mo＝X1，Ho＝X2，Vo＝X3，于是，变形连续条件可写为

式中　δ11——切口处作用一对单位力矩（即Mo＝X1＝1）时，使截面产生的相对角位移；

　　　δ12——切口处作用一对单位轴向力（即切口处Ho＝X2＝1）时，使该截面产生的相对角位移，根据位移互等定理，δ12＝δ21；

　　　δ13——切口处作用一对单位径向剪力（即Vo＝X3＝1）时，使该截面产生的相对角位移，由位移互等定理，δ13＝δ31；

　　　δ32——切口处作用一对单位轴向力（即Ho＝X2＝1）时，使该截面产生的径向相对位移，由位移互等定理，δ32＝δ23；

　　　δ33——切口处作用一对单位剪力（即Vo＝X3＝1）时，使该截面产生的径向相对位移；

　　　δ22——切口处作用一对单位轴向力（即Ho＝X2＝1）时，使该截面产生的切向相对位移；

　　　D1——荷载（含温度荷载，下同）使切口截面产生的相对角位移；

　　　D2——荷载使切口截面产生的切向相对位移；

　　　D3——荷载使切口截面产生的径向相对位移。

式中的δij（i＝1、2、3；j＝1、2、3）只与拱圈形状、尺寸及基岩变形有关，称为形常数。D1、D2、D3除此之外，还与荷载有关，称为载常数。

考虑拱端基岩位移时左半拱圈的形常数及载常数值，见表3-2。

计算上述形常数和载常数，对等厚圆拱，可按功能原理由积分求出，对非圆拱或变厚度拱，目前多用分段累计或高斯数值积分方法计算。

Mo、Ho、Vo求出后，对左右半拱都按静定结构计算。例如，对左半拱，拱中心角为φ的任一截面C的内力M、H和V［图3-16（c）］可由下式求出：

式中的ML、HL、VL为左半拱外荷载在C截面产生的弯矩、轴向力和剪力。同理，可求得右半拱任一截面的内力：式中的φ为右半拱中心角，MR、HR、VR为右半拱外荷载对所求截面的弯矩、轴向力和剪力。

拱圈截面内力求出后，利用偏心受压公式可计算坝体上下游面的边缘应力：

式中的σ以压为＋，且＋号用于上游面。

当拱厚T与拱圈中线半径R之比时，截面应力不再呈直线分布，应按厚拱考虑，计入拱圈曲率影响，这时边缘应力计算公式成为

（二）简约法计算等厚圆拱内力

纯拱法计算坝体应力，虽原理简单，但形常数与载常数是拱中心角φ、拱厚T、岸坡角ψ、坝体与基岩弹性模量之比当量矩形边长比、泊松比μ及荷载p与温差tm的函数，计算工作量大。为简化设计，人们事先制作了大量数表，给出了拱圈在单位荷载作用下的内力（称内力系数）、径向位移（称径向位称系数）、应力（称应力系数）。对于等厚圆拱，利用这些数表，现已可直接求得拱冠和拱端处的内力、应力和拱冠处的径向位移，称简约法。其原理与方法如下：

1.制表假定

制表时为简化计算，将主要影响因素如φ、R、T等作为参数，而将次要因素如ψ、、μ等作为固定值，为此作了一些假定，例如我国《砌石坝设计》中假定：ψ＝45°，μ＝0.2，一般拱坝假定＝20，薄拱坝＝40，p＝1×104　N/m2，tm＝1℃，材料的热膨胀系数αt＝1/℃，＝1、2、3、4、5（美国垦务局所著《坝论》中假定ψ＝0，μ＝0.2，，p＝1×106　N/m2，Ehαt＝1×104kPa/℃，其余同上）。在上述假定下编制出了拱冠、拱端内力与应力及拱冠径向位移的一系列数表（表中应力以压为＋，Δr以指向库内为＋）。以下简述其应用。

2.均匀径向荷载p作用下的拱冠、拱端内力计算

根据美国垦务局《坝论》数表（下同），均匀径向荷载包括水压力、泥沙压力、浪压力等作用下的拱圈内力可按下列公式计算：

（1）拱冠内力：

（2）拱端内力：

各项单位：H、V（kN），M（kN·m），拱圈中线半径R（m），均匀径向荷载p（kPa）。

3.均匀温度变化tm作用下内力计算

（1）拱冠内力：

（2）拱端内力：

4.均匀径向荷载p作用下的拱冠位移系数δi计算

由文献［21］查得后按下式计算：

5.均匀温降tm作用下拱冠径向位移计算

由文献［21］查得后由下式计算：

6.等效线性温差td作用下拱冠径向位移计算

由文献［21］查得后由下式计算：

求得拱冠、拱端内力后，可应用式（3-39）或式（3-40）求出边缘应力。

五、拱冠梁法计算拱坝应力

（一）基本原理与分析步骤

用拱冠梁法计算拱坝应力时，一般沿坝高将坝体分成5～7层，在每层内取1m高度的水平拱圈，以及取中面宽度为1m的拱冠梁作为计算单元。根据二者交点处的径向变位一致条件建立荷载分配方程组，求解拱梁的径向荷载分配比例，并假定荷载沿拱圈均匀分布。荷载分配后，拱按纯拱法，梁按静定悬臂梁计算应力。其主要分析步骤为：

（1）根据拱梁交点处的径向变位一致关系及各点处拱梁径向荷载之和等于总径向荷载的要求建立变位协调方程组，即荷载分配方程组。

（2）把各交点分别看作拱上与梁上的点计算其径向变位。

（3）对（2）求得的变位代入（1）求解方程组。

（4）荷载分配后，分别求拱、梁应力并验算强度。

（二）建立荷载分配方程组

设对图3-17（a）所示的拱坝，自坝顶至坝底分成n（n＝5）层拱圈，各层拱圈与拱冠梁的交点编号自上至下依次为1、2、3、4、5。据经验，对全部径向荷载如图3-17（b）所示，拱所分担的部分如图3-17（c）所示，梁所分担的部分如图3-17（d）所示（坝顶附近为反向压力）。考虑任一交点i，i点径向压力总强度为pi，设梁承担的压力为xi，则拱圈承担的为pi-xi。作为拱上的i点，其径向变位可由纯拱法求出：

作为拱冠梁上的i点，其径向变位与梁上的全部径向荷载及竖向荷载作用有关，计算如下：

对于图3-17（d）中曲线分布的径向荷载AEDB，可近似视为如图3-17（f）所示的三角形荷载的叠加，并可将其表示为如图3-18所示的5个单位三角形荷载的线性组合。这些单位三角形荷载的顶点取在各交点i＝1、2、3、4、5处，荷载值为1，线性减小至上下邻点处为零。这样，三角形荷载xi（i＝1、2、3、4、5）引起的梁上各交点的径向变位的计算，就可转化为单位三角形荷载xi＝1（i＝1、2、3、4、5）引起的梁上各点的径向变位计算。由图可知，i点（如i＝3）在各单位三角形荷载作用下的变位为ai1＋ai2＋ai3＋ai4＋ai5。根据虎克定律可得，在x1～x5作用下i点的径向变位为ai1x1＋ai2x2＋ai3x3＋ai4x4＋ai5x5。设在竖向荷载作用下，梁上i点的径向变位为。至此，可以写出拱冠梁上i点的径向变位为

由拱梁交点处变位一致关系Δig＝Δil，即可写出拱梁荷载分配方程组如下：

可见，欲求出x1～x5，关键在于先求得梁的径向变位系数aij及。

（三）梁的径向变位系数aij的计算

1.aij组成

考虑地基变位时，径向荷载作用在拱冠梁上任一点时引起的径向变位由4部分组成，xj＝1也不例外，见图3-19，因此有：

2. 计算

为xj＝1产生的梁基内力（弯矩）引起梁基转角θS而使梁上i点产生的径向变位，可按下式计算：

θS可按式（3-33）计算，简化计算式为

M5为xj＝1产生的梁基弯矩。

3.计算

为xj＝1产生的梁基内力引起梁基剪切位移而使梁上i点产生的径向变位，即式（3-33）中的Δr，简化计算式为

V5为xj＝1产生的梁基剪力。

4.计算

为xj＝1在梁内各截面产生弯矩如图3-19（a）中的M1～M5引起的梁轴挠曲，使梁上i点产生的径向变位，可由分段累计法计算，分析如下：

设截面弯矩M引起的拱冠梁弹性曲线如图3-20（a）所示。在弹性曲线上，设拱梁交点1、2、3、4、5点处的截面转角（即切线与铅直线的夹角）分别为θ1、θ2、…、θ5。若在小变形情况下，可用依次连接1、2、3、4、5点的弦线所构成的折线，近似代替拱冠梁弹性曲线，且在拱梁交点处，设弦线与曲线切线的夹角分别为ψ1、ψ2、…、ψ5。于是，由图3-20（a）所示的几何关系可知，对折线上任意相邻的i点与i＋1点的径向变位与有如下关系：

或

由图3-20（b）可知，对于任一坝体分段高度Δh所对应的弹性曲线，有如下近似几何关系：

由上可见，关键是计算θi与ψi。在弹性曲线上任取一微小弧段dS，见图3-20（c），设两端截面弯矩近似相等，其值为M，dS两端切线夹角为dθ，dS梁段的抗弯刚度为EI 为截面惯性矩，T为坝体厚度，E 为材料弹性模量），于是可写出弹性曲线的微分方程如下：

当曲率不大时，可用dh近似代替dS，将上式两端在坝体分段高度Δh内积分，左端积分θ从θi＋1至θi，右端的用i段的平均值代替，并按常量处理，即

积分后得

或

或

将式（3-60）代入式（3-57）可得

至此，将式（3-61）与式（3-63）代入式（3-56），即可得到（i＝1～5）的计算公式：

式（3-64）即为j点处作用Xj＝1时，梁轴挠曲变形在i＝1～5点处的水平位移，由之可求得表3-3第2栏第2～5列数值。同理，当j＝2、3、4、5时，即可分别求得表3-3第3、4、5、6栏第2～5列数值。

5.计算

为xj＝1在梁内各截面产生剪力如图3-19（a）中的V1～V5，引起梁轴剪切错动变形而使梁上i点产生的径向位移，可用与计算同样的方法求出，分析如下：

设由截面剪力V引起的拱冠梁弹性曲线如图3-21所示，拱梁交点位于曲线上的1、2、3、4、5点。对于任意相邻的i与i＋1点间的曲线，其平均剪切角αi＋1可近似表示为

式中的A＝T×1，T为截面厚度，K为剪力分布系数，E、G分别为材料弹性模量和剪切弹性模量，三者关系为K/G＝3/E。将式中的用该段的平均值代替，则得

或

由图3-21所示的几何关系可得：

或

将式（3-67）代入式（3-69），可得（i＝1～5）的计算公式如下：

上式即为j点处作用xj＝1时，梁轴挠曲变形在i＝1～5点处的水平位移，由之可求得表3-3第2栏第2～5列数值。同理，当j＝2、3、4、5时，即可分别求得表3-3第3、4、5、6栏第2～5列数值。另外，分别为表3-3中的第5列和第10列。拱坝设计时，aij（i，j＝1～5）的计算可参照表3-3进行。

（四）梁在竖向荷载作用下的径向变位的计算

对于整体上升的混凝土拱坝和浆砌石拱坝，悬臂梁由竖向荷载引起的径向位移影响荷载分配，故须计算在内。竖向荷载的径向变位主要是由截面弯矩和梁基转角引起（梁轴及梁基压缩的影响很小，一般不计）。计算步骤为：①由竖向荷载计算各截面弯矩；②由梁各截面及梁基弯矩计算各点径向变位。对于②计算公式可写为

（五）联解方程组确定拱梁径向荷载分配值

将以上求出的aij、、δi、Ci和tmi按序代入式（3-50）并联立求解，即可求得xi（i＝1～5），从而求得pi-xi。

（六）应力计算

荷载分配后拱冠梁按水平径向荷载及竖向荷载共同作用下的静定梁，按偏心受压公式计算边缘应力；拱圈则按在水平径向荷载及温度荷载共同作用下的弹性拱，以纯拱法计算拱圈各截面上下游的边缘应力，也可采用简约法计算拱冠、拱端内力或边缘应力。

（七）拱坝应力控制标准

拱坝应力控制标准与应力计算方法有关，《混凝土拱坝设计规范》（SL 282—2003）规定，拱坝应力分析应以拱梁分载法或有限元法计算成果，作为衡量强度安全的主要标准。对1、2级拱坝和高拱坝，或情况比较复杂的拱坝（如拱坝内设有大孔洞、基础条件复杂等），除用拱梁分载法计算外，还应采用有限元法计算。必要时，应进行结构模型试验加以验证。

采用拱梁分载法计算时，坝体的主压应力和主拉应力，应符合下列控制标准：

（1）容许压应力。混凝土的容许压应力等于混凝土的极限抗压强度除以安全系数。对于基本荷载组合，1、2级拱坝的安全系数取4.0，3级拱坝的取3.5；对于非地震特殊荷载组合，1、2级拱坝的安全系数取3.5；3级拱坝的取3.0。

（2）容许拉应力。在保持坝肩拱座稳定的条件下，通过调整拱坝的体形，来减少坝体拉应力的数值和作用范围。对于基本荷载组合，拉应力不得大于1.2MPa；对于非地震特殊组合，拉应力不得大于1.5MPa。

此外，坝体横缝灌浆前，还应按单独坝段进行验算。此时，要求坝体最大拉应力不得大于0.5MPa，并在自重单独作用下，悬臂梁断面上的合力作用点落在坝体厚度中间的2/3范围内。

除运行情况外，拱坝还应验算施工期的坝体应力和抗倾稳定性。坝体横缝灌浆前遭遇施工洪水时，要求坝体抗倾稳定安全系数不得小于1.2。

拱坝混凝土抗压强度，是指90d龄期15cm立方体的强度，保证率为80%；坝体局部结构（如泄水孔、廊道处）的应力，应符合《水工混凝土结构设计规范》（SL/T　191—2008）的规定要求。

采用拱冠梁法计算坝体应力时，因求不出主应力，拱圈和悬臂梁的法向应力除满足上述要求外，还应视具体情况，适当留有一定的安全储备。

地震情况下，采用拟静力法对拱坝进行抗震强度计算时，仍采用式（2-49），式中的结构系数，抗压强度取4.1，抗拉强度取2.4。

［算例］

1.基本资料

某浆砌石拱坝为定圆心等外半径圆筒形单曲拱坝，坝高40m，等分成4段，n＝5，Δh＝10m.坝址为梯形河谷，初拟各层拱圈参数和拱冠梁尺寸，如表3-4和图3-22所示。试用拱冠梁法计算坝体应力。

（1）计算采用数据。浆砌条石容重γm＝23kN/m3，坝体材料与坝基岩石弹性模量相等Eh＝Ef＝E＝6×106kPa，泊松比相等均为μ＝0.2，线膨胀系数αt＝8×10-61/℃，淤沙浮容重12kN/m3，淤沙压力与水压力合并，总压强列于表3-4中。温度荷载只计均匀温度变化，按式（3-23）计算，结果列于表3-4中。上游正常蓄水位440.00m，与坝顶齐平；下游相应水位402.56m；上游淤沙高程410.00m。

（2）荷载组合。包括正常蓄水位时的水压力＋淤沙压力＋均匀温降。

2.荷载分配计算

（1）计算拱冠梁在竖向荷载作用下的径向变位。

1）拱冠梁的截面常数、梁自重及其产生的截面弯矩、水重及其弯矩、扬压力及其弯矩等项目的计算，详见表3-5，表中参数的物理意义，见图3-23。

2）计算群。根据表3-5求得的截面弯矩，按式（3-52）、式（3-64）、式（3-71）计算，详见表3-6。

（2）计算拱冠梁在单位Δ径向荷载作用下的径向变位系数aij。

按表3-3所列的系数计算，共25个系数，计算结果详见表3-10。

（3）计算各层拱圈在水压力＋淤沙荷载及均匀温降作用下的拱冠径向变位系数δi及Ci。

根据各层拱圈的中心角φA、温降tm、平均半径R及由文献［21］查得后，按式（3-45）及式（3-46）计算，如顶层拱圈：φA＝55°，tm＝-10.50℃，R＝72.3m，＝-0.0415，可查得系数＝-53470，＝1.847，于是有：

同理求得：

（4）建立拱冠梁法的荷载分配方程组并求解荷载分配值。将以上求得的拱、梁径向变位系数代入式（3-50），即可得到拱冠梁法的荷载分配方程组。但须指出：①在以上分析中，梁的变位是以指向下游为正，而在拱冠径向变位的查表计算中是以指向上游为正，故代入式（3-50）时，应将拱变位方向反号；②为便于分析，在以上aij的分析中是取拱冠梁的中线（平均厚度处）弧长为1，该处荷载强度为xi，与其对应的梁上游面强度实际应为：（ΔSui为拱冠i处外弧长），因此拱圈在i处分担的荷载强度实际上应为pi-，即式（3-50）中的（pi-xi）均应以代替来建立荷载分配方程组（ΔSui值见表3-5）。综上所述得到的方程组如下：

用高斯消元法求解上述方程组，可得拱冠梁承担的荷载强度为

x1＝-29.7，x2＝57.6，x3＝113.0，x4＝195.9，x5＝503.7。由于：＝-29.1（kPa）

拱圈承担的荷载强度为

p′1＝p1-x′1＝0＋29.1（kPa）

p′2＝p2-x′2＝100-55.4＝44.6（kPa）

p′3＝p3-x′3＝200-106.6＝93.4（kPa）

p′4＝p4-x′4＝300-181.4＝118.6（kPa）

p′5＝p5-x′5＝473.3-457.9＝15.3（kPa）

3.内力与应力计算

拱冠梁按上述分得的径向水压力及自重、水重、扬压力等，根据偏心受压公式计算应力，见图3-24，拱圈根据分得的水平径向力及温度荷载，按纯拱法计算拱圈内力及应力。