1.3.3 控制基础

1.拉普拉斯变换和z变换

（1）拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，它将一个有参数实数t（t≥0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。线性微分方程求解时，采用拉普拉斯变换可将微分方程的求解转换为线性方程的求解。

拉普拉斯变换定义 设定义在实轴上的函数f（t），满足下列狄利赫利条件：

● 当t<0时，f（t）=0。

● 当t≥0时，f（t）在任何有界区间上至多只有有限个间断点，即f（t）在任何有界区间上可积。

● 当t→+∞时，f（t）具有有限增长性，即存在实常数M>0及α≥0，使|f（t）|≤Meαt，0≤t<∞。

则满足狄利赫利条件的函数f（t），它的拉普拉斯变换定义为

式中，复数s=σ+jω。F（s）称为f（t）的象函数，f（t）称为F（s）的原函数。

一个实变量函数在实数域中进行一些运算不方便，将其用拉普拉斯变换转换到复数域中，则运算会简单，然后，将运算结果再进行拉普拉斯反变换，就可获得其在实数域的相应结果。

引入拉普拉斯变换的目的是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性，并进而对系统进行分析。在经典控制理论中，拉普拉斯变换十分有用。

根据拉普拉斯变换的定义，对不同的原函数f（t），可根据其积分直接获得对应的象函数F（s）。从而建立原函数f（t）和象函数F（s）间的变换对，以及f（t）在实数域内的运算与F（s）在复数域内的运算之间的对应关系。

拉普拉斯变换的基本性质如下：

● 线性定理。若α、β是任意两个复常数，并有L[f₁（t）]=F₁（s），L[f₂（t）]=F₂（s），则

● 平移定理。若L[f（t）]=F（s），则

● 微分定理。若L[f（t）]=F（s），则

式中，f（0）是f（t）在t=0的值。对n阶导数的拉普拉斯变换可用类似的公式推导。

● 积分定理。若L[f（t）]=F（s），则

式中，∫f（0）dt是f（t）积分的初始值。

● 终值定理。若L[f（t）]=F（s），则

● 初值定理。若L[f（t）]=F（s），则

拉普拉斯反变换定义：

（2）z变换

对差分方程，可用z变换将离散的时间信号转换为代数方程，求解后的结果再经逆z变换获得差分方程的解。

z变换定义：对离散时间序列x[n]，其z变换定义为

逆z变换定义：已知z变换X[z]，其逆z变换定义为

积分路径C是X[z]收敛环域（R_X-,R_X+）内逆时针方向绕原点一周的单围线。

2.传递函数

（1）传递函数的定义

系统的数学模型可以用微分方程、差分方程、状态空间或传递函数等描述。

线性定常系统的传递函数G（s）是零初始条件下，系统输出量Y的拉普拉斯变换Y（s）与其输入量X的拉普拉斯变换X（s）之比，也称为转移函数，即

零初始条件指输入信号在t=0以后才加入，即输入量及其各阶导数在t=0时均为0。系统在输入作用加入前是相对静止的。这表明在t=0时系统的输出量及其各阶导数也全为0。

离散系统的传递函数可表示为

传递函数具有如下特性：

● 传递函数是描述线性定常系统动态特性的数学模型，是反映系统在零初始条件下的运动规律。它不能反映非零初始条件下系统的特性。传递函数常用于研究系统结构和参数改变对系统性能的影响。

● 传递函数取决于静态结构参数，与外部信号大小和形式无关。

● 传递函数只表示一个输入和一个输出之间的动态关系，对多输入多输出系统，用传递函数矩阵表示它们之间的动态关系。

● 通常，传递函数的分子项次数m小于等于分母项次数n。

● 传递函数可用多种形式描述，例如，可用零极点增益形式描述为

式中，z₁、z₂、…、z_m称为零点，p₁、p₂、…、p_n称为极点，K称为增益。数学模型称为zpk模型。

● 两个线性系统模型串联，如图1-47所示，组成系统的传递函数等于串联系统中各自传递函数的乘积。即G（s）=G₂（s）G₁（s）。

● 两个线性系统模型并联，如图1-47所示，组成系统的传递函数等于并联系统中各自传递函数的和。即G（s）=G₂（s）+G₁（s）。

● 两个线性系统组成负反馈回路，如图1-47所示，其闭环传递函数为

（2）示例

1）他励直流电动机传递函数

如图1-48所示，他励直流电动机动态电路可用下列方程描述：

式中，I_a是电枢电流（A）；U_a是电枢电压（V）；R_a是电枢回路总电阻（Ω）；L是电枢回路电感（H）；C_e是电动机结构决定的电动势常数；Φ是励磁磁通（Wb）；n是转速（r/m）。

根据他励直流电动机机械特性，可得图1-49所示的他励直流电动机传递函数

上式显示电枢电流与电枢电压的传递函数G₁（s），电动机电动势与电流的传递函数G₂（s），及电动机转速与电动机电动势之间的传递函数G₃（s）。

当外界负载转矩T_L为零时，可得他励直流电动机的传递函数为

2）交流感应电动机传递函数

三相交流感应电动机经线性化后可用一阶惯性环节描述。即

式中，K_m是电动机前向通道增益，T_s是电动机惯性时间常数。

电动机驱动部分采用晶闸管控制电压调节驱动装置，也可近似用一阶惯性环节描述。即

反馈环节也可用一阶惯性环节描述描述，即

为使感应电动机控制系统实现无静差，应选用具有积分控制作用的调节器，因此，速度调节器为

图1-50是交流感应电动机单闭环反馈控制系统框图。

上述结果是在对电机许多参数做近似和忽略后获得的，因此，只能用于电动机机械特性的线性工作区域。

经化简得单闭环控制系统传递函数为

3.PID控制算法

常规模拟仪表用硬件实现模拟PID控制算法，计算机控制装置用软件实现数字PID控制算法。

（1）模拟PID控制算法

理想的模拟PID控制算法为

用传递函数表示为

式中，K_c是比例增益；T_i是积分时间；T_d是微分时间；e（t）是偏差；e（t）=r（t）-c（t）；r（t）是控制系统设定；c（t）是控制系统的闭环输出。

由于理想的微分无法实现，因此，实际应用时的模拟PID调节器的传递函数是

式中，K_d是微分增益。

● 比例控制作用。比例（P）控制的输出与输入的偏差成比例。K_c称为比例增益。u_p（t）=K_ce（t）。偏差越大，比例控制作用的输出u_p（t）也越大。比例控制作用能够减小偏差。

● 积分控制作用。积分控制作用的输出与偏差随时间的累积量成正比。。只要存在偏差，积分控制作用输出就会不断累积，使偏差减小到等于零，或者使控制器输出达到输出上限或下限。积分控制作用用于消除余差。积分控制输出等于比例控制输出时所需的时间是积分时间T_i。积分时间T_i越小，比例积分控制输出曲线的斜率越大，控制作用越强。

● 微分控制作用。引入微分控制的目的是改善高阶系统的控制品质。微分控制作用是按偏差变化率的控制。因此，引入微分控制作用可改善系统的稳定性。而相同稳定性需要下引入微分，可提高比例增益，减小最大偏差或超调量，缩短过渡过程的回复时间，改善系统控制品质。

（2）数字PID控制算法

随着计算机技术的应用，在运动控制系统中常采用数字PID控制算法。

模拟PID控制算法采用下列转换公式近似得到离散控制算法：

数字PID控制算法有三种：

● 位置算法。根据式（1-42）和式（1-44），得

与模拟算法比较可知，，

● 增量算法。Δu（k）=u（k）-u（k-1），根据式（1-45），即有

● 速度算法。它是增量输出与采样周期之比，即

增量算法的输出可通过步进电动机等具有零阶保持特性的累积机构，转化为模拟量，在运动控制系统中应用广泛；速度算法的输出须采用积分式伺服机构。位置算法的输出不能直接连接，一般须经保持电路，使输出信号保持到下一采样周期输出信号到来时为止。

（3）数字PID算法的特点

数字PID算法具有下列特点：

● P、I、D三种控制作用独立，没有控制器参数之间的关联。数字控制器直接采用数字化参数，不存在控制器参数之间的相互影响。

● 由于不受硬件制约，数字控制器参数可以在更大范围内设置，例如，模拟控制器积分时间最大为1200s，而数字控制器不受此限制。

● 数字控制器采用采样控制，引入采样周期T_s，即引入纯时滞为T_s/2的滞后环节，使控制品质变差。根据香农采样定理，为使采样信号能够不失真复现，采样频率应不小于信号中最高频率的两倍。即采样周期应小于工作周期的一半，这是采样周期的选择上限。此外，为解决圆整误差问题，采样周期也不能太小，它们决定了采样周期的下限。

实际应用中，采样周期的选择原则是使控制度不高于1.2，最大不超过1.5。经验选择方法是根据系统的工作周期T_p，选择采样周期T_s=（1/6~1/15）T_p，通常取T_s=0.1T_p。

要求控制的回路越多，相应的采样周期设置应越长，以保证有足够时间完成控制算法。

为改善数字控制系统的控制品质，可对数字PID算法进行改进，见表1-10。