2.2.2 均衡分析

均衡，代表处于一个稳定的状态，即“稳态”的意思。在非合作博弈中，纳什均衡是一个非常重要的概念，它已成为非合作博弈的中心概念和赖以建立的基础[78]，并且反映一个稳定的博弈结果。纳什均衡的定义如下。

定义 2.2（纳什均衡）：给定一个 N 人非合作博弈G={N，{A_n}_n∈N，{μ_n}_n∈N}，策略集合是一个纳什均衡，当且仅当∀n∈N 时，∀a_n∈_nA，满足条件：

其中， a_n表示用户 n 的策略，表示除参与者 n 之外的参与者的策略集合， N 表示博弈中的N个参与者，{A_n}表示策略空间，μ_n表示参与者n的效用函数。

如果参与者从它的可选行动集中固定地选择一个行动，那么称为纯策略。除了纯策略，参与者也可按照一定的概率分布在行动集中进行选择策略，此时称为混合策略。纯策略纳什均衡可认为是混合策略纳什均衡的特殊形式。参与者n的混合策略可记为σ_n，其中σ_n（a_n）表示参与者n选择行动a_n的概率。可知，参与者n的混合策略空间为，0≤σ_n（a_n）≤1}。所有参与者的混合策略集合可记为σ=（σ₁，…，σ_N），类似地，σ_-n代表除n之外所有用户的混合策略集合。在使用混合策略时，用户n的效用函数为u_n（σ_n，σ_-n）=。

需要指出的是，对于一个非合作博弈而言，并不一定存在纯策略纳什均衡。另外，即使存在纯策略纳什均衡，也有可能不唯一，可能存在多个纯策略纳什均衡解，面临均衡解不唯一的问题。若存在多个纯策略纳什均衡解，经过博弈之后系统进入某个均衡状态后保持稳态。在非合作博弈中，每个参与者的目标是最大化各自的效用函数。为了研究参与者之间的相互影响和“利己主义”的结果，需要对博弈的稳态解进行分析。纳什均衡具有策略稳定性，从纳什均衡的定义可以看出，当一个博弈处于纳什均衡时，没有任何一个参与者能够通过单方面的改变策略得到效用提升。然而，博弈追求“稳态”，而决策优化问题追求“最优”，“稳态”和“最优”之间不是等价关系。系统处于纳什均衡状态，并不意味着系统性能高效，有时可能会出现由于参与者的自私行为导致稳定时系统性能较低，这就涉及博弈模型的设计问题，在2.4节中将讨论博弈模型的设计。博弈模型的设计作为一个关键问题，可通过博弈机制设计，使得博弈稳态解接近或成为系统最优解。此外，除了纳什均衡，还衍生出了其他均衡解的概念，如Staclekberg均衡（Staclekberg Equilibrium）、相关均衡（Correlated Equilibrium）、演化稳定策略（Evolutionary Stable Strategy）等。对于合作博弈来说，较为常用的博弈均衡解有讨价还价解、核（Core）等。