二、动能、动能定理

力对物体作功会产生什么样的效果呢？下面将讨论力的空间累积效应。如图1-11所示，质量为m的质点，在合力F作用下由初位置a沿曲线移至b，在a处速度为b。由式1-23可得，力F在这过程中所作的功是

Aab=F·dr=Ft|dr|=mat|dr|

由于

因此

(1-24)

这里出现了一个新的物理量这个量是由质点以速率表征的运动状态所决定的。这个量称为质点的动能(kinetic energy)，用Ek表示，即

(1-25)

动能是标量，与功有相同的单位，即焦耳(J)

式1-24可以写成

(1-26)

上式表明，合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。这个结论称为动能定理(theorem of kinetic energy)。

几点说明：

(1)当Aab>0时，说明合外力对质点作正功，质点的动能增加；当Aab<0时，合外力对质点作负功，即质点克服外力作功，质点的动能减少。

(2)功和动能既有联系又有区别，功是与合外力作用下质点发生位移过程相联系的，是一个过程量。动能是表征质点运动状态的一个物理量，是一个状态量。两者又有联系，即只有合外力对质点作功，才能使质点的动能发生变化，功是能量变化的量度。

(3)式1-26可以推广到质点系，对于质点系中每一个质点都可列出类似式1-26的方程，然后将它们相加，就得到质点系的动能定理，即

(1-27)

这里Ek和Ek0分别表示质点系终态和初态的总动能，A表示合外力作功A外和一切内力作功A内之和。

(4)动能定理适用于惯性系。

例1-5　一质量为m的小球系在线的一端，线的另一端固定在墙上的钉子上，线长为l。先使小球保持水平静止，然后松手使小球下落，求线摆下θ角度时这个小球的速率和线的张力。

解：小球受到的力是mg和T，如图1-12所示。小球由a落到b的过程中，合外力作功为

Aab=(T+mg)·dr=T·dr+mg·dr=mgdrcosθ

因为

dr=ldθ

所以

Aab=mglcosθdθ=mglsinθ

按动能定理有

所以

小球处于θ角度时，由牛顿第二定律沿法向的分量式有

因此，线中的张力为