2.3.3　If-then约束

若x是一个任意类型的决策变量，f（x）是关于x的函数，y为0-1变量。假设y和f（x）满足如下关系：如果f（x）≥0，则y=1。类似这种的约束就是If-then约束。

If-then约束的主要建模方法正是上文提到的大M建模方法。不过，在建模过程中一般需要将原命题转换为其逆否命题，这样能够更好地对应到定理2.3.2。

接下来通过一个具体案例来介绍If-then约束的建模。

【例2.1】设v为0-1决策变量，x1和x2为任意类型的决策变量（0-1型、连续型或整数型）。若三者之间的取值关系为

试将上述关系建模为等价的线性约束。注意，x1和x2也可以被替换为表达式。

注意到上述关系中包含2个命题，下面对其分别处理。

（1）第1个命题为：如果x1≥x2，则v=1。注意到该命题的形式和上文定理中提到的略有不同。为了转换成完全相同的形式，将该命题变成其逆否命题：如果v=0，则x1＜x2。借助定理2.3.2，该命题可以表示为x1-x2-Mv＜0。但是，在数学规划中，一般不使用大于号（＞）和小于号（＜）；若出现这种情况，需要将其转换成≥或者≤。转换方法是，引入一个非常小的正数ϵ，则上述约束即可改写为x1-x2+ϵ-Mv≤0，其中，M是x1-x2的一个上界。

（2）第2个命题为：如果x1＜x2，则v=0。同样地，将其转换为逆否命题：如果v=1，则x1≥x2。观察到，v=1等价于1-v=0。因此，该约束可以改写为x2-x1-M（1-v）≤0，其中，M是x2-x1的一个上界。

综上，上述If-then约束的等价线性约束为

其中，M是|x1-x2|的一个上界。

上述案例展示了详细的If-then约束的建模推导步骤。接下来汇总一些常见的If-then约束的建模方法，见表2.2[3]。其中，x为任意类型决策变量，y、z1、z2、z3为0-1变量，f（x）为关于x的函数，ϵ为一个很小的正数（例如10-6），M是一个足够大的正数（或者是对应的表达式的一个上界）。

表2.2　常见的If-then约束的建模方法

续表