1.3 条件概率：门后的老山羊与豪车

一个囚犯站在法官面前听候判决。法官严肃地说：“我不得不做出最严厉、最残酷的判决，这就是绞刑。这个严酷的刑罚必须执行，不可更改。除此之外，我唯一的决定权是安排你的行刑日期，对此，我一直在两个方案之间犹疑。”

“最简单、最直接的方案是判决即刻生效，马上执行，但这个判决对你太仁慈了，你完全没有感受到惊恐害怕。因此，我现在决定：在下周7天中的某一天，我会在日出时安排执行绞刑。我绝不会提前告诉任何人，我会在哪一天安排绞刑，所以，我保证你不可能事先知道，自己将在哪一天被绞死。每个夜晚，你都将在担惊受怕中入睡，这是对你最大的惩罚。”

法官宣判完后，囚犯绝望了，他转过头去，居然看到他的律师露出了微笑。走出法庭后，律师对囚犯说：“他们不能绞死你了，”他解释道，“按照法官的安排，下周7天中的某一天，他会在日出时分执行绞刑，而且他们保证不会提前让你知道。因此，他们不能在星期六绞死你，因为星期六是一周的最后一天，如果星期五的早晨，你还没有被绞死，你就知道了行刑日期必然是星期六。这与法官的安排是矛盾的，因为他的计划是不让你知道行刑日期。”

“所以，他们最晚只能在星期五绞死你，这一点没问题吧。”囚犯对此表示赞同。“既然星期六已经排除了，星期五就成了可以绞死你的最后一天，按照同样的逻辑，如果你星期四早上还没被绞死，那么你一定会在星期五被绞死，这又与法官的安排矛盾。你明白了吗？依照同样的逻辑，我们还可以排除星期四、星期三，我们可以排除每一天！法官把自己套住了！这个判决不可能执行！”

囚犯心情愉快地度过了星期一，星期二早晨，他从美梦中醒来，然后被押赴刑场，绞死了。

这是一个经典的悖论——意外绞刑悖论，它还有很多种表现形式，比如老师突袭考试、紧急消防演习等。正如律师所言，如果法官严格的执行判决，囚犯将不会被绞死，然而，法官在公布判决结果时已经下定决心：绞刑必须执行，只有在这个前提下，才能体现出悖论的思辨色彩。哲学家迈克尔·斯克里文这样评论意外绞刑悖论：“逻辑的力量遭到事实的否决，我觉得这正是此悖论的迷人之处。可怜的逻辑学家念着过去屡试不爽的咒语，但事实上这个怪物听不懂咒语，执意前行。”

我们用概率论分析一下这个悖论。在法官说到，要在一周7天中的某一天处死囚犯时，囚犯在一周7天的任何一天被执行绞刑的概率都是1/7，而当法官说到，囚犯不会知道绞刑在哪一天执行时，概率发生了变化，周六执行绞刑的概率原本是1/7，此时却降为了0，因为周六执行绞刑违背了“囚犯不知道绞刑在哪一天执行”的条件。一个前提条件，改变了事件发生的概率，这就是——条件概率。

“三门问题”

“三门问题”是一个知名的概率问题，这个问题刚好用到了“条件概率”，我们一起来看看，条件概率是如何帮助参赛者提高获胜机会的。

蒙提霍尔是一个美国电视节目的主持人，他曾主持过一个有趣的游戏节目，叫作“Let's make a deal”。节目中有三扇关闭的大门，其中一扇门的后边是一辆豪车，另外两扇门的后边各藏着一只老山羊。如果参赛者最终选定的门的背后是豪车，参赛者可以开着豪车回家，如果是老山羊，参赛者将空手而归。节目开始后，蒙提霍尔让参赛者从三扇关闭的门中随便挑选一扇，然后，蒙提霍尔会从剩下的两扇门中打开一扇，门后定会出现一只老山羊，因为，蒙提霍尔知道豪车藏在哪扇门的后边。此时，蒙提霍尔会给参赛者一个改选的机会，如果你是参赛者，你会改选另一扇门还是坚持最初的选择？

我猜你此刻在想：蒙提霍尔知道豪车在哪，我可不知道，所以选哪扇门都一样嘛，改或者不改是一样的，非要我决定改还是不改的话，抛硬币好了。

节目中的参赛者也是这么想的，所以他们有的坚持不改，有的摇摆不定之后改选了另一扇门。这个游戏还包含另一层心理层面的因素，如果参赛者不改变自己最初的选择，即使他们没有得到豪车，也会用“坚持自我”来安慰自己，而如果他们改选另一扇门却落了个空，则会懊恼不已，因为他们把到手的豪车拱手送了出去！看起来，不改变自己最初的选择是对的。“不变初衷”“坚持自我”，多么励志的想法！

然而，科学不相信励志。下面，我就来告诉你，为什么“坚持自我”是错误的。

这个问题中的条件有些复杂，为了由浅入深的展开分析，我们对前提条件做一个简化：假设主持人不知道哪扇门后边是豪车，也就是说，在参赛者选择完一扇门后，主持人在剩下的两扇门里随机挑选一扇。此外，为了方便起见，我们把两只老山羊分别记为公山羊和母山羊，很显然，这样不会影响计算结果。

在这样的前提条件下，我们把所有可能的情况列出来，一共有6种可能的情况，即6个随机事件，如表1-1所示。

现实中，主持人并非随机选择了一扇门，他只会选择公山羊或母山羊面前的那扇门，所以，随机事件B和随机事件D不可能发生！也就是说，当参赛者第一次选择了公山羊或者母山羊时，主持人根本没有选择的余地，他必须选择另一只山羊，留下豪车，这时，参赛者应该改变初衷，选择另一扇门；当参赛者第一次选择了豪车时，主持人一定会留下一只老山羊，这时参赛者不应该改变初衷。

因此，在下面三种情况下，参赛者会获得豪车。

参赛者选择公山羊⇒主持人选择母山羊⇒参赛者改选另一扇门⇒参赛者获得豪车

参赛者选择母山羊⇒主持人选择公山羊⇒参赛者改选另一扇门⇒参赛者获得豪车

参赛者选择豪车⇒主持人选择母山羊或公山羊⇒参赛者不改变选择⇒参赛者获得豪车

这三种情况包含的一个重要信息是：只要知道了参赛者第一次选择的门后是什么，就知道了参赛者是否应该改选另一扇门。下面，我们来计算参赛者第一次选择的三种可能的结果出现的概率。

设定：

随机事件A1：参赛者第一次选择公山羊；

随机事件A2：参赛者第一次选择母山羊；

随机事件A3：参赛者第一次选择豪车。

我们知道，参赛者第一次的选择是完全随机的，因此：

P（A1）=P（A2）=P（A3）

并且：

P（A1）+P（A2）+P（A3）=1

因此可以得到：

P（A1）=P（A2）=P（A3）=1/3

只有当随机事件A3发生时，参赛者才应该坚持自己的选择，而随机事件A3发生的概率只有1/3，所以，我们得到的结论是：改选另一扇门，有2/3的可能得到豪车，反之，则只有1/3的可能得到豪车。

重新审视分析过程，我们会发现，这个游戏有趣的一点就在于：在你随机选择一扇门之后，主持人为你去掉了一个错误答案。有了这个前提条件，参赛者获胜的概率提高了，这就是“条件概率”的神奇之处！

条件概率

条件概率，是针对两个或两个以上的随机事件提出的概念，我们设定任意两个随机事件为A、B，那么，在A已经发生的前提下，B发生的概率就称为条件概率，记为P（B|A）。

概率具有非负性，条件概率是概率的一个类别，因此同样具有非负性，即对于任意随机事件A和随机事件B, P（B|A）≥0。

要研究两个随机事件之间的关系，首先要弄清楚，两个随机事件的概率之间可以进行哪些数学运算，下面我们来介绍概率的加减乘除法则。

首先，我们要定义两个概念：

和事件：随机事件A∪B称为A和B的和事件，它表示随机事件A或随机事件B中至少有一个发生；

积事件：随机事件A∩B称为A和B的积事件，它表示随机事件A和随机事件B同时发生。通常地，我们把A∩B简写为AB。

其次，我们来学习概率的加法和乘法。

概率加法：对任意两个随机事件A和B，有

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

概率乘法：对任意随机事件B和满足P（A）＞0的随机事件A，有

P（AB）=P（B|A）·P（A）

概率的加法和乘法就是概率论中的四则运算，很多概率问题的计算都需要使用这两种运算，本书后边的内容也会反复使用它们。这里需要说明的是，概率加法和乘法的证明不在本书的讨论范围内，我们把它们当作数学中的四则运算一样使用就可以了。

细心的读者会发现，概率乘法中出现了条件概率P（B|A），事实上，概率乘法的另一种表达方式正是条件概率的数学定义。

设随机事件A和B，满足P（A）＞0，则

P（B|A）=P（AB）/P（A）

定义为随机事件A发生的前提下随机事件B发生的条件概率。

关于条件概率，我们要讨论的最后一个问题是：对于某个随机事件B和任意随机事件A, P（B|A）和P（B）之间的大小关系是怎样的？

这个问题会让人在一瞬间产生两种截然相反的想法。有些人在想：已知条件越多，事情发生的概率应该越大，所以P（B|A）≥P（B）；另一些人在想：已知条件越多，对事件发生的限制也越多，事件发生的概率也越小，所以P（B|A）≤P（B）。

我们用一个生活中的事例来解释一下。

2015年，北京空气质量达标186天，占全年的51%。假定今天是2016年1月1日，如果我让你预测一下3月1日会是雾霾天还是晴天，你会怎么回答？谁都不可能提前两个月预测一天的雾霾情况，所以，你只能回答51%，看起来，这跟抛硬币没什么区别。

时光如箭，转眼到了2月29日。假如，今天白天狂风大作，夜幕降临时，风停了，你一定会感到欣慰：“明天肯定是好天气！”又如，今天雾霾压城，直到夜里仍不见好转，你会在睡前默默地给全家人准备好口罩，你知道，明天肯定还是雾霾天。

我们用概率语言重新描述上面的事例。

随机事件B:2016年3月1日，北京城是个雾霾天。

随机事件A1:2016年2月29日，北京白天刮大风，晚上风停了。

随机事件A2:2016年2月29日，北京全天雾霾严重。

根据常识，我们得到了下面的结论：

P（B|A1）＜P（B）

P（B|A2）＞P（B）

所以说，P（B|A）和P（B）没有确定不变的大小关系，前提条件对随机事件产生的影响无法预测！