1.4 独立事件：反复抛起的硬币

有这样一个谜题：小明一家四口正在沙滩上享受假期，这时，小明和妹妹为了一个美丽的贝壳争执起来，他们俩都想得到贝壳，谁也不让谁，只好找来父亲。父亲没法说服这对兄妹，只能用一种“公平的方式”来决定贝壳归谁——抛硬币。可是，父亲手上没有硬币，只有几个汽水瓶瓶盖，父亲想要用瓶盖代替硬币，可是，抛瓶盖出现正面和反面的概率未必相同。请问，父亲该怎么办呢？

或许你已经知道答案了，如果你还没想明白，先把这个小谜题放在一边，我们一起来学习概率论中的一个很独特的概念——独立事件。

独立事件的含义

通俗地讲，彼此没有任何关联的事件称为独立事件。比如，你和我各自抛一枚硬币，你抛硬币出现正面和我抛硬币出现正面是两个毫不相干的随机事件，此时，我们就称这两个事件彼此独立，互为独立事件。

独立事件看起来很容易理解，实际上，人们常常搞不清楚它的含义。下面，我们就来讨论一下独立事件真正的含义。

某日，一架小型客机在靠近机场的居民区坠落，所幸没有造成人员伤亡。记者们第一时间赶到事故现场，采访了机场总经理。为了安抚大家的情绪，也为了保全机场的声誉，机场总经理这样说道：“从统计学上讲，人们应该感到更放心，因为再次发生类似事故的可能性相比此前大大减小了。”

毫无疑问，这段采访应该入选“史上最差危机公关”的榜单。历史上有很多血淋淋的事件都可以反驳这种愚蠢至极的说法。纽约时间2001年9月11日早8时37分，美国航空公司11次航班被劫持，8时46分，这架波音767飞机以490千米/小时的速度撞向世贸中心北楼。要知道，在此之前，美国发生飞机撞楼事件的概率仅为0.005%，如果按照那位机场总经理的说法，世贸中心第一次被撞之后，几乎不可能再发生类似事件了。而事实是，恐怖分子随后驾驶另外两架波音飞机撞击了世贸中心南楼和五角大楼。除此以外，我们还能列举出很多“祸不单行”的事实。面对恐怖袭击或者意外事故，我们要做的不是拿概率理论来蒙骗大众，而是应该找出事故原因，避免类似的惨剧再次发生。

那么，这位机场总经理到底错在哪儿呢？他混淆了两件事：一个随机事件发生两次和一个随机事件再次发生。以飞机失事为例，设

随机事件A：该机场飞机失事

根据该机场的营运历史，P（A）=0.01%

我们假设两次不同的事故之间是互相独立的，那么，该机场发生两次飞机失事事故的概率是：

P（A）·P（A）=0.000001%

这个概率的确远低于P（A）。可是，在飞机失事已经发生的时候，飞机再次失事的概率依然是：

P（A）=0.01%

因为事故之间是彼此独立的。如果两者彼此存在关联，这个概率甚至会变得更大。

对独立事件还有另一种常见的误解。

请你快速回答：抛硬币时，“出现正面”和“出现反面”互相独立吗？

我希望听到肯定的回答，这样我就可以纠正你的错误了！关于独立事件的第二个误解就是：把不能同时发生的事件当作互相独立的事件。“正面”和“反面”的确不可能同时出现，它们看起来互不侵犯，难道不是互相独立吗？答案是否定的。因为独立事件的含义是，当一个随机事件发生时，不影响另一个随机事件发生的概率。如果抛硬币出现了正面，那么，出现反面的概率会从50%降为0！

关于独立事件，我们需要记住以下三点：

（1）一个随机事件发生两次的概率不等于一个随机事件再次发生的概率；

（2）不可能同时发生的事件不是互相独立的；

（3）独立事件的含义是，不论一个随机事件发生还是不发生时，都不会影响另一个随机事件发生的概率。

独立事件的数学表达

还记得概率乘法吗？

P（AB）=P（B|A）·P（A）

我们刚刚学到，独立事件的含义是，当一个随机事件发生时，不影响另一个随机事件发生的概率。这听起来很像条件概率的定义，实际上，这句话等价于下面的数学表达式：

P（B|A）=P（B）

将这两个表达式合并起来，就可以得到，当随机事件A和随机事件B互相独立时，

P（AB）=P（B）·P（A）

上面的表述前后颠倒一下，就是独立事件的定义。

设A和B是两个随机事件，如果满足

P（AB）=P（B）·P（A）

则称A和B互相独立，或称A和B互为独立事件。

这是两个事件相互独立的定义，那如果是三个事件呢？

设A、B、C是三个随机事件，如果满足如下等式：

P（AB）=P（B）·P（A）

P（AC）=P（A）·P（C）

P（BC）=P（B）·P（C）

P（ABC）=P（A）·P（B）·P（C）

则称A、B、C互相独立。

由此可以推论出n个事件互相独立的定义，请读者们自行脑补。

本节的最后，我要告诉你那个小谜题的一个参考答案：扔两次瓶盖，出现“正面、反面”，贝壳归小明；出现“反面、正面”，贝壳归妹妹；出现其他情况，父亲重新扔，直到贝壳有了归属为止。因为每次扔瓶盖是互相独立的，所以，出现“正面、反面”和“反面、正面”的概率一定是相等的，独立事件帮助我们实现了公平。