命题III.17

过圆外一点可以作圆的切线。

设：A为给定的点，BCD为给定的圆。

要求从A点向圆BCD作切线。

设：E为圆心。连接AE，以E为圆心、EA为半径作圆AFG，从D点作DF垂直于EA，连接EF、AB（命题III.1、I.11）。

那么：AB是从点A向圆BCD作的切线。

因为E为圆BCD、圆AFG的圆心，所以：EA等于EF，ED等于EB。所以：AE、EB分别等于FE、ED，且它们在E点上有共同的角。

所以：第三边DF等于AB，三角形DEF全等于三角形BEA，余角等于余角。所以：∠EDF等于∠EBA（命题I.4）。

而∠EDF为直角，所以：∠EBA也是直角。

现在EB是半径，由圆的直径的端点所作直线和直径成直角，则直线切于圆。

所以：AB与圆BCD相切（命题III.16）。

所以：从给定的点A，能作AB与圆BCD相切。

所以：过圆外一点可以作圆的切线。

证完

注解

这一命题应用在命题III.34、XII.2中。