当弗雷格遭遇罗素

在19世纪末的德国耶拿大学，有一位叫弗雷格（Gottlob Frege,1848～1 925）的数学教授。他最初的工作是想用形式逻辑的概念把现有数学中的概念重新定义一遍，并用逻辑的方法重新推导出整个数学体系——简而言之，就是把数学还原为逻辑，以便让数学有个稳固的基础。因为这种还原如果能够成功的话，整个数学就成了逻辑的派生物；既然对于逻辑我们无法怀疑，那么作为其派生物的数学的牢靠性就有了保证了。

在工作中，弗雷格发现日常语言多有歧义，不够精确，不足以用来作为重建数学基础的工具；于是，他自己设计了一套符号语言系统，这也就是现代数理逻辑语言的发端。在他的工作过程中，他还对语言中的概念、意义、判断的真假等等问题作了广泛的研究，这些构成了分析哲学研究的起点。

不过在当时，弗雷格的同事们并不理解他的工作，而且一度认为他非常愚蠢。他们没有想到，在大海另一边的英国，有个比弗雷格更“愚蠢”的人特地渡过海峡来拜访他，并且使弗雷格名扬天下。

这个英国人就是年轻的罗素。当时的罗素也在为数学基础的问题思殚力竭。如果说弗雷格的工作兴趣多半还停留在数学和符号语言，那么罗素一直在思考的却是哲学问题：他不仅想通过精确的符号语言、逻辑系统来澄清数学的本性，还想以此为地基来理解人类的认识能力，乃至为整个人类知识奠定基础。他偶然读到了弗雷格的著作，感到深受启发，于是两人开始了对话。但对于弗雷格而言，这样的相遇是幸还是不幸还很难说，因为罗素让他发现自己有致命错误！他发现，自己构造的逻辑体系会造成悖论——这意味着他一生的工作都将付诸东流了。

事情是这样的：弗雷格把数定义为“集合”，比如说，“3”这个数是所有可以用“3”来标示的对象组合的集合，如三个苹果、三个人等等，这些组合形式都是“3”这个集合的成员。既然“数”可以用“集合”来定义，那么在演算中就可以不需要“数”这个原本比较含混的概念了，从“集合”这个更基本、更明晰的概念出发，理论上也能推出整个数学。

但是“集合”这个概念真的毫无问题吗？罗素发现，集合有两种：一种集合不能是自身的成员，比如所有的“人”构成一个集合，这个集合可以叫作“人类”;“人类”显然和“人”不同，“人”是“人类”这个集合的成员，这个集合包括所有的“人”，却不包括“人类”。还有一种集合，它能够是自身的成员，比如所有“能够被计算的对象”可以构成一个集合，而这个集合本身应当也是能够被计算的，于是它就是自身的成员。现在问题来了：我们可以构造这样一个集合，集合中包括所有“不以自身为成员的集合”；那么，这个集合本身是不是这个集合的成员呢？如果它是，那么它就不是；如果它不是，那么它就是。

这个就是著名的“罗素悖论”。如果觉得上面这样的抽象表达看着发晕的话，那么这里可以提供一个直观的表达：一个小村子里只有一个理发师，他必须为并且只能为所有不给自己理发的人理发。那么，他该不该给自己理发呢？

“罗素悖论”看起来不难理解，但并不容易解决。后来罗素和怀特海（Alfred Whitehead,1861～1947）合作的三卷本巨著《数学原理》大体上完成了把数学还原为逻辑的工作，在那里面罗素用“类型论”这种外在规定来避免悖论的发生，但这种解决终究还是不能令人满意。维特根斯坦最初也是被“罗素悖论”吸引而去阅读罗素、弗雷格的著作的，但他更关心的不是这个悖论的解决，而是关于逻辑、语言和世界的本性及其相互关系的问题。所以，关于这个悖论的问题这里不多说了。