任务2 位置与姿态描述
一、任务导入
在描述物体（如零件、工具或机械手）之间的关系时，要使用到坐标系、位置描述、位姿描述等概念。本任务对位置与姿态进行描述，让我们来学习这些概念及其表示法。
二、坐标系的定义
工业机器人是一种非常复杂的系统，为了精准、清楚地描述机器人位姿参数，通常采用坐标系来描述。而机器人的结构可以看成是由一个个的关节连接起来的连杆在空间组成的多刚体系统。因此，也属于空间几何学的问题。坐标系可以把空间几何学的问题归结成易于理解的代数形式的问题，用代数学的方法进行计算及证明，从而达到解决几何问题的目的。
在工业机器人学科中，常使用的坐标系有以下几种。
1.直角坐标系
在空间建立直角坐标系后，可以使用点到三个相互垂直的坐标平面的距离来确定点的位置，即在空间的点P与三维有序数组（a，b，c）一一对应。如图2-1～图2-3的坐标系中，取三条相互垂直的具有一定方向和度量单位的直线，称为三维直角坐标系R3或空间直角坐标系OXYZ（也称为右手坐标系）。利用这种坐标系可以把空间中的点P与三维有序数组（a，b，c）建立起一一对应的关系。
图2-1 直角坐标系
图2-2 右手坐标系
图2-3 直角坐标系机器人
2.柱面坐标系
如图2-4所示，设M（x，y，z）为空间中的一点，并设点M在XOY面上的投影点P的极坐标为（r,θ），则r、θ、z就称为点M的柱面坐标（见图2-5）。
图2-4 柱面坐标系
图2-5 柱面坐标机器人
3.球面坐标系
假设P（x，y，z）为空间中的一点，则点P也可以用三个有次序的数（r，θ，φ）来确定，其中r为原点O到点P的距离；θ为OP线与正Z轴的夹角；φ为以正Z轴为圆心，自X轴开始按逆时针旋转到OM（如图2-6所示，点M为点P在XOY平面上的投影）所转过的角度。这三个数r，θ，φ则称为点P的球面坐标。球面坐标机器人如图2-7所示。
图2-6 球面坐标系
图2-7 球面坐标机器人
4.坐标系的其他分类方式
以上为三种常用的坐标系种类。在机器人学中也会常用到另一种坐标系的分类方式来描述空间机器人的位姿，即：参考坐标系和关节坐标系。
（1）参考坐标系
参考坐标系的位置和方向不随机器人各个关节的运动而变化，对机器人的所有其他坐标系起参考定位的作用。通常使用空间中的固定坐标OXYZ来表述，如图2-8所示。在这种坐标系中，无论机械臂在哪里，X、Y、Z轴的正向运动总是跟随着X、Y、Z轴的正方向的。参考坐标系主要是用来定义机器人相对其他物体的运动和机器人的运动路径。
图2-8 参考坐标系和关节坐标系示意图
（2）关节坐标系
关节坐标系用来描述机器人的每个独立关节的运动，如图2-8所示。当机器人的每个关节是单独受控时，每个关节单独运动，每个关节都可以建立一个关节坐标系。由于所有关节的类型不同，机器人末端的动作也各不相同，例如，如果是旋转关节运动，机器人末端将绕着关节的轴旋转。
空间点的描述图
三、位置描述
1.空间点的表示
建立一个参考坐标系后，如果要确定刚体在空间中的位姿，需要得到刚体上的某一个点的位置和刚体的空间姿态。比如在刚体中取一个点P，该点的位置（相对于参考坐标系OXYZ）用O点相对于参考坐标系的三个坐标分量来表示：
P=ai+bj+ck（2-33）
上式中，a、b、c分别为P点在直角坐标系中的三个坐标分量。
当然，也可以用空间中其他的坐标系来表示点P。
例2-5 尝试表示图2-9中的P点。
解：在图2-9中：
点P相对于X轴的分量为5；
点P相对于Y轴的分量为4；
点P相对于Z轴的分量为2
空间向量的描述
故，可将点P表示为P=5i+4j+2k。
2.空间向量的表示
空间中的向量可以由起始点和终点的坐标来表示。如果一个向量起始于A点，终止于B点，A点表示为A=Axi+Ayj+Azk，B点表示为B=Bxi+Byj+Bzk。那么，该向量可以表示为：
（2-34）
例2-6 尝试表示图2-10中的向量
。
解：在图2-10中，向量起始于点A，截止于点B。
图2-9 例2-5
图2-10 例2-6
其中，原点A表达为A=5i+4j+2k
点B表达为B=0i+8j+0k
那么，
如果向量的起始点为原点，终止点为P点时，向量便可表示为
（2-35）
上式被称为向量
的分量式，a、b、c称为向量的坐标，称
为向量的坐标式。当然，也可以用3×1矩阵来表示，即：
或是
（2-36）
图2-11 例2-7
机器人的位置描述就可以使用空间向量来表示。比如，刚体B 在空间直角坐标器{A}中的位置可以表示为APB。其中，上标A代表参考坐标系{A}，下标 B代表被描述的刚体 B。
例2-7 尝试表示图2-11中的向量。
解：在图2-11中，向量起始于原点O，截止于点P。
其中，点P表达为P=8i+6j+5k
那么，=P=8i+6j+5k
用3×1矩阵来表示，可以表示为：
或
姿态描述
四、姿态描述
如图2-12所示，在确定了刚体在空间中的位置后［图2-12（a）、（b）］，还要描述刚体的方位。可以在刚体上按照一定的规律来建立动坐标系O＇X＇Y＇Z＇［图2-12（c）］。这一个动坐标系是用来表示刚体方向的，当建立好O＇X＇Y＇Z＇坐标系后，即可描述该坐标系与参考坐标系OXYZ的关系［图2-12（d）、（e）］，这就是刚体的姿态。
图2-12 刚体姿态示意图
将动坐标系O＇X＇Y＇Z＇拆分成3个轴：X＇轴、Y＇轴、Z＇轴，研究刚体的姿态就是要讨论几何向量在坐标系OXYZ中如何表示。
例如：在空间中建立好参考坐标系{A}后，为了规定某刚体B的姿态。设置一个直角坐标系{B}与此刚体固接。用坐标系{B}的三个单位向量xB，yB，zB相对于参考坐标系{A}的方向余弦组成3×3矩阵来表示刚体B相对于参考坐标系{A}的姿态。如图2-13所示。
（2-37）
图2-13 坐标系旋转示意图
称为旋转矩阵。式中，上标A代表参考坐标系{A}，下标B代表被描述的坐标系{B}。
列矩阵代表坐标系{B}的X轴单位向量在坐标系{A}中的表示，
、
同理。、、列矩阵都为单位矩阵，且双双相互垂直，因而9个元素满足6个约束条件（正交条件）：
（2-38）
可见，旋转矩阵是正交的，且满足条件：
（2-39）
对应于轴X，Y，Z作转角为θ的旋转变化（如图2-14所示），其旋转矩阵分别为：
图2-14 坐标系绕X，Y，Z轴旋转示意图
（绕X轴旋转θ度）
（绕Y轴旋转θ度）（2-40）
（绕Z轴旋转θ度）
图2-15 例2-8
例2-8 描述图2-15中坐标{B}相对于参考坐标{A}的姿态。θ=30°。
解：由图2-15可知，坐标系{B}与参考坐标{A}原点重合，坐标系{B}相对于参考坐标{A}的姿态关系为：绕Z轴旋转θ度。所以，使用式（2-40）中的第三条
（绕Z轴旋转θ度）
所以，这个旋转矩阵可以表示为：
位姿描述
五、位姿描述
在之前的学习中，已经讨论了采用空间向量来描述机器人的位置，还讨论了使用旋转矩阵来描述机器人的姿态。要完全地描述刚体B在空间的位姿（位置和姿态），通常将物体B与{B}坐标系固接，{B}坐标原点一般选择在刚体B的特征上，如质心等，如图2-16所示。
图2-16 刚体位姿示意图
相对参考{A}，坐标系{B}的原点位置和坐标轴的方向，分别由位置向量
和旋转矩阵来描述。这样，刚体B的位姿可由坐标系{B}来描述，即有
图2-17 例2-9
当表示位置时，上式中的旋转矩阵
（单位矩阵）；当表示姿态时，上式中的位置向量
。
例2-9 描述图2-17中坐标{B}相对于参考坐标{A}的位姿。
解：首先，确定{B}坐标系的位置向量，
然后，确认坐标{B}相对于参考坐标{A}的姿态关系，即旋转矩阵
由图2-17可知，坐标{B}相对于参考坐标{A}，姿态关系为：绕Z轴旋转90°。
所以，使用公式
（绕Z轴旋转θ度）
旋转矩阵：
坐标{B}相对于参考坐标{A}的位姿为：
