任务3 坐标变换

一、任务导入

空间中的任一点P在不同坐标系中的描述是不一样的。为了阐明从一个坐标系到另一个坐标系的描述关系，需要讨论这种变换的数学问题。

当空间中的坐标系（向量、物体或运动坐标系等）相对于固定的参考坐标系产生运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。这是因为变换本身就是坐标系状态的变化（表示坐标系位姿的变化）。坐标变换可以为如下几种形式：

①平移坐标变换；

②旋转坐标变换；

③平移与旋转的组合。

二、平移坐标变换

如图2-18所示，设有一个固定的坐标系{A}和一个动直角坐标系{B}具有相同的姿态，但{A}系与{B}系的原点不重合，用位置向量来描述{B}系相对于{A}系的位置，称为{B}系相对{A}系的平移向量。且

　　（2-41）

其中，dx为平移向量相对于固定坐标系{A}的X轴分量；dy为平移向量相对于固定坐标系{A}的Y轴分量；dz为平移向量相对于固定坐标系{A}的Z轴分量。如果点P在{B}系中的位置是，那么相对于{A}系的位置向量可由向量的相加得出，即

　　=+（2-42）

上式称为坐标平移方程。

例2-10 如图2-19所示已知坐标系{B}的初始位置与{A}重合，将坐标系{B}相对于坐标系{A}的XA轴移动12个单位，并沿YA轴移动6个单位。求位置矢量。若点P在坐标系{A}中的描述为，求点P在坐标系{B}中的描述BP。试绘制两个坐标系的关系。

解：首先，确定位置向量APB

然后，由AP=BP+APB，可知BP=AP-APB。

三、旋转坐标变换

如图2-20所示，设坐标系{B}与{A}有共同的原点，但是{A}系和{B}系姿态不同，用旋转矩阵来描述{B}系相对于{A}系的姿态。同一点P在两个坐标系{A}和{B}中的描述AP和BP可由向量的相乘得出，即

　　（2-43）

上式称为坐标旋转方程。

例2-11 如图2-21所示，已知坐标系{B}的初始位置与{A}重合，将坐标系{B}相对于坐标系{A}的XA轴旋转30°。求旋转矩阵。若点P在坐标系{B}中的描述为，求点P在坐标系{A}中的描述AP。试绘制两个坐标系的关系。

解：首先，确定旋转矩阵，由于是相对于XA轴旋转30°，所以选择下式：

然后，由，可知：

相同的，也可以用来描述{A}系相对于{B}系的姿态。和都为正交矩阵，两者互逆。所以：

　　（2-44）

四、复合坐标变换

在实际应用中，机器人的运动往往比较复杂，不仅仅是单纯的平移或是旋转，而是平移和旋转组合变换，如图2-22所示。也就是说，坐标系{A}的原点和坐标系{B}的原点不重合，且{A}系和{B}系的姿态也不同。在描述时，用位置向量APB表示{B}系的坐标原点相对于{A}系的位置，并且用旋转矩阵ABR描述{B}系相对于{A}系的姿态。对于任一点P在两个坐标系中的描述，{A}系和{B}系中的描述AP和BP ，都有以下变换关系：

　　（2-45）

可把上式看成坐标旋转和坐标平移的复合变换。实际上，为了方便理解，还可以设定一个过渡坐标系{C}，使{C}系坐标原点和{B}系坐标原点重合，同时，{C}系的姿态与{A}系相同。按照坐标旋转方程，可知过渡坐标系的变换：

　　（2-46）

再由坐标平移方程，可知：

　　（2-47）

例2-12 如图2-23所示，已知坐标系{B}的初始位置与{A}重合，先将坐标系{B}相对于坐标系{A}的XA轴旋转30°，再将坐标系{B}相对于坐标系{A}的XA轴移动12个单位，并沿YA轴移动6个单位，求旋转矩阵。若点P在坐标系{B}中的描述为，求点P在坐标系{A}中的描述AP。试绘制两个坐标系的关系。

解：首先，确定位置向量APB

然后，确定旋转矩阵：

由式（2-45）可知，可知：

五、齐次坐标变换

由于各种原因，变换矩阵应写成方阵形式，3×3或4×4均可。在接下来的学习中，计算方形矩阵的逆要比计算长方形矩阵的逆容易得多。而且，为了使两个矩阵相乘，它们的维数必须匹配，即第一矩阵的列数必须与第二矩阵的行数相同，如（m×n）矩阵和（n×p）矩阵相乘会得到矩阵为（m×p）。

为了保证所表示的矩阵为方阵，如果在一个矩阵中既要表示位置又要表示姿态，那么可以在矩阵中加入比例因子使之成为4×4矩阵。如果只表示姿态，则可去掉位置向量，成为3×3的矩阵，如果同时要表示位置和姿态，就可以加入比例因子。

比如：是非齐次的坐标，但是可以将其表示成等价的齐次变换形式：

　　（2-48）

其中，和列向量表示三维空间的点，称为齐次坐标，但是仍然记为AP和BP。故上式可以写成以下形式：

　　（2-49）

其中，AP和BP是4×1的列向量，与之前所学习的空间点的表示相比，加入了第四个元素1。式中是4×4的矩阵，可以表述为：

　　（2-50）

实质上，齐次变换式可以写成两个部分：

　　；1=0+1

例2-13 已知坐标系{B}相对于坐标系{A}的旋转矩阵为，且位置向量为。请写出坐标系{B}相对于坐标系{A}位姿的齐次坐标描述。

解：首先，由可以等价齐次变换为

其中，。

可知，坐标系{B}中的点P在坐标系{A}中可以表示为：

六、平移齐次坐标变换

若空间中某点由向量ai+bj+ck描述。其中，i，j，k为轴x，y，z上的单位向量。这个点可以用平移齐次坐标变换表示：

　　（2-51）

式中，Trans代表平移变换。

已知向量,对u列向量进行平移变换所得的向量v为

　　（2-52）

例2-14 已知向量u=2i+3j+2k被向量4i-3j+7k平移变换，求出新的向量v。

解：首先

例2-15 已知坐标系{B}的初始位置与{A}重合，将坐标系{B}相对于坐标系{A}的XA轴移动10个单位，并沿YA轴移动3个单位。求位置矢量。若点P在坐标系{B}中的描述为，求点P在坐标系{A}中的描述AP。

解：首先，得到新的坐标系{B}的原点在坐标系{A}中的向量表示：

然后，列出平移齐次坐标变换矩阵：

点P在坐标系{B}中的向量表示为

则点P在坐标系{A}中的向量表示为

七、旋转齐次坐标变换

对应于轴X，Y，Z作转角为θ的旋转变换，分别可以用下列式子来描述：

（2-53）

式中，Rob表示旋转变换。

例2-16 已知向量u=7i+3j+2k，对它分别进行绕轴Z旋转90°和绕Y轴旋转90°的变换后。求出新的向量vZ和vY。

解：

例2-17 如例2-11所示，已知坐标系{B}的初始位置与{A}重合，先将坐标系{B}相对于坐标系{A}的XA轴旋转30°，再将坐标系{B}相对于坐标系{A}的XA轴移动12个单位，并沿YA轴移动6个单位，求旋转矩阵。若点P在坐标系{B}中的描述为，求点P在坐标系{A}中的描述AP。（用齐次坐标解决）

解：

所以，